Поскольку стандартная ошибка линейной регрессии обычно задается для переменной отклика, мне интересно, как получить доверительные интервалы в другом направлении - например, для x-перехвата. Я могу представить, что это может быть, но я уверен, что должен быть прямой способ сделать это. Ниже приведен пример того, как R визуализировать это:

set.seed(1)
x <- 1:10
a <- 20
b <- -2
y <- a + b*x + rnorm(length(x), mean=0, sd=1)

fit <- lm(y ~ x)
XINT <- -coef(fit)[1]/coef(fit)[2]

plot(y ~ x, xlim=c(0, XINT*1.1), ylim=c(-2,max(y)))
abline(h=0, lty=2, col=8); abline(fit, col=2)
points(XINT, 0, col=4, pch=4)
newdat <- data.frame(x=seq(-2,12,len=1000))

# CI
pred <- predict(fit, newdata=newdat, se.fit = TRUE) 
newdat$yplus <-pred$fit + 1.96*pred$se.fit 
newdat$yminus <-pred$fit - 1.96*pred$se.fit 
lines(yplus ~ x, newdat, col=2, lty=2)
lines(yminus ~ x, newdat, col=2, lty=2)

# approximate CI of XINT
lwr <- newdat$x[which.min((newdat$yminus-0)^2)]
upr <- newdat$x[which.min((newdat$yplus-0)^2)]
abline(v=c(lwr, upr), lty=3, col=4)

Как рассчитать доверительный интервал X-перехвата в линейной регрессии?

Asumptions

• $y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$
• $\epsilon | X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I_n)$
• Подходит, используя обычный метод наименьших квадратов

3 процедуры для расчета доверительного интервала на x-intercept

• Расширение Тейлора (прост в использовании)
• Марк в коробке метод (MIB)
• КАПИТАНИ-ПОЛЛАСТРИ ( https://boa.unimib.it/retrieve/handle/10281/43053/64388/DECAPITANI_Pollastri.pdf )

Расширение Тейлора первого порядка

$Y=aX+b$$\sigma_a$$\sigma_b$$a$$b$$\sigma_{ab}$

$\sigma_X$$X$

MIB

См. Код от Марка во вставке в разделе Как рассчитать доверительный интервал x-пересечения в линейной регрессии? ,

CAPITANI-POLLASTRI

CAPITANI-POLLASTRI предоставляет кумулятивную функцию распределения и функцию плотности для отношения двух коррелированных нормальных случайных величин. Он может использоваться для вычисления доверительного интервала x-пересечения в линейной регрессии. Эта процедура дает (почти) те же результаты, что и результаты MIB.

$\hat\beta \sim \mathcal{N}(\beta, \sigma^2 (X^TX)^{-1})$$\hat{\beta}$

Процедура следующая:

• $a$$b$
• $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_{ab}=\rho\sigma_a\sigma_b$
• $a$$b$$\mathcal{N}(a, b, \sigma_a, \sigma_b, \rho)$$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$
• $x_{intercept}= \frac{-b}{a}$

Сравнение 3 процедур

Процедуры сравниваются с использованием следующей конфигурации данных:

• х <- 1:10
• <- 20
• б <- -2
• y <- a + b * x + rnorm (длина (x), среднее значение = 0, sd = 1)

10000 различных образцов генерируются и анализируются с использованием 3 методов. Код (R), использованный для генерации и анализа, можно найти по адресу: https://github.com/adrienrenaud/stackExchange/blob/master/crossValidated/q221630/answer.ipynb.

• MIB и CAPITANI-POLLASTRI дают эквивалентные результаты.
• Разложение Тейлора первого порядка существенно отличается от двух других методов.
• MIB и CAPITANI-POLLASTRI страдают от недостаточного покрытия. Обнаружено, что 68% (95%) ci содержат истинное значение 63% (92%) времени.
• Расширение Тейлора первого порядка страдает от чрезмерного покрытия. Обнаружено, что 68% (95%) ci содержат истинное значение 87% (99%) времени.

Выводы

Распределение x-перехвата асимметрично. Это оправдывает асимметричный доверительный интервал. MIB и CAPITANI-POLLASTRI дают эквивалентные результаты. У CAPITANI-POLLASTRI есть хорошее теоретическое обоснование, и оно дает основания для MIB. MIB и CAPITANI-POLLASTRI страдают от умеренного недостаточного покрытия и могут использоваться для установки доверительных интервалов.

Я бы порекомендовал начальную загрузку остатков:

library(boot)

set.seed(42)
sims <- boot(residuals(fit), function(r, i, d = data.frame(x, y), yhat = fitted(fit)) {

  d$y <- yhat + r[i]

  fitb <- lm(y ~ x, data = d)

  -coef(fitb)[1]/coef(fitb)[2]
}, R = 1e4)
lines(quantile(sims$t, c(0.025, 0.975)), c(0, 0), col = "blue")

На графике показаны точки, в которых нижний / верхний предел доверительной полосы прогнозов пересекает ось. Я не думаю, что это пределы достоверности перехвата, но, возможно, это грубое приближение.