Помогите мне понять квантильную (обратную CDF) функцию

Я читаю о функции квантиля, но она мне не понятна. Не могли бы вы дать более интуитивное объяснение, чем приведенное ниже?

Поскольку cdf является монотонно возрастающей функцией, она имеет обратную; обозначим это через . Если - это cdf файла , то - это значение такое что ; это называется квантиль . Значение является медианой распределения, где половина вероятностной массы находится слева, а половина - справа. Значения и - нижний и верхний квартили.$F$$F^{−1}$$F$$X$$F^{−1}(\alpha)$$x_\alpha$$P(X \le x_\alpha) = \alpha$$\alpha$$F$$F^{−1}(0.5)$$F^{−1}(0.25)$$F^{−1}(0.75)$

На первый взгляд все это может показаться сложным, но по сути это нечто очень простое.

Кумулятивной функцией распределения мы обозначаем функцию, которая возвращает вероятности того, что меньше или равно некоторому значению ,$X$$x$

Эта функция принимает в качестве входных данных $x$ и возвращает значения из интервала $[0, 1]$ (вероятности) - обозначим их как $p$ . Обратной кумулятивной функции распределения (или функции квантили) говорит вам , что $x$ бы $F(x)$ возвращать некоторое значение $p$ ,

Это показано на диаграмме ниже, в которой в качестве примера используется нормальная кумулятивная функция распределения (и ее обратное).

пример

В качестве простого примера вы можете взять стандартный дистрибутив Gumbel . Его кумулятивная функция распределения

и его можно легко перевернуть: вспомните, что функция натурального логарифма является обратной экспоненциальной функцией, поэтому сразу становится очевидным, что квантильная функция для распределения Гумбеля

Как вы можете видеть, квантильная функция, согласно своему альтернативному названию, «инвертирует» поведение кумулятивной функции распределения.

Обобщенная обратная функция распределения

Не каждая функция имеет обратную. Вот почему цитата, на которую вы ссылаетесь, говорит «монотонно возрастающая функция». Напомним, что из определения функции он должен назначить для каждого входного значения ровно один выход. Кумулятивные функции распределения для непрерывных случайных величин удовлетворяют этому свойству, поскольку они монотонно возрастают. Для дискретных случайных величин кумулятивные функции распределения не являются непрерывными и растущими, поэтому мы используем обобщенные обратные функции распределения, которые должны быть неубывающими. Более формально, обобщенная обратная функция распределения определяется как

Определение, переведенное на простой английский, говорит, что для данного значения вероятности мы ищем некоторый , в результате чего возвращает значение, большее или равное , но, поскольку может быть несколько значений которые удовлетворяют этому условие (например, верно для любого ), поэтому мы берем наименьший из них.$p$$x$$F(x)$$p$$x$$F(x) \ge 0$ $x$$x$

Функции без инверсий

Как правило, не существует инверсий для функций, которые могут возвращать одно и то же значение для разных входов, например, функций плотности (например, стандартная функция нормальной плотности симметрична, поэтому она возвращает одинаковые значения для и и т. Д.). Нормальное распределение является интересным примером еще по одной причине - это один из примеров кумулятивных функций распределения, которые не имеют обратной замкнутой формы . Не каждая кумулятивная функция распределения должна иметь обратную замкнутую форму ! Надеемся, что в таких случаях обратные результаты могут быть найдены с использованием численных методов.$-2$$2$

Использование регистра

Квантильную функцию можно использовать для генерации случайных чисел, как описано в разделе Как работает метод обратного преобразования?

У Тима был очень подробный ответ. Отличная работа!

Я хотел бы добавить еще одно замечание. Не каждая монотонно возрастающая функция имеет обратную функцию. На самом деле только строго монотонно растущие / убывающие функции имеют обратные функции.

Для монотонно увеличивающегося cdf, который не является строго монотонно возрастающим, у нас есть квантильная функция, которая также называется обратной кумулятивной функцией распределения. Вы можете найти более подробную информацию здесь .

$F^{-1}$