Фурье-преобразование распределений

Какие распределения являются их собственным преобразованием Фурье, кроме нормального распределения и обобщенного распределения арксинуса ?

Предположим, что преобразование Фурье для есть где где . Обратное преобразование: $x(t)$$X(f)$

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$$ $i = \sqrt{-1}$ $$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$$

Некоторые свойства преобразования Фурье следующие:

• Преобразование Фурье для есть$X(t)$$x(-f)$

• Если - вещественная четная функция от , то - вещественная четная функция от .$x(t)$$t$$X(f)$$f$

Таким образом, если является действительной четной функцией от , то преобразование Фурье для вещественной четной функции равно$x(t)$$t$$X(t)$$x(f)$

Теперь предположим, что является четной функцией плотности вероятности (так что для всех ) с дополнительным свойством, что . Предположим также, что его преобразование Фурье обладает свойством для всех . Тогда, поскольку является четной неотрицательной вещественной функцией функции с областью , что есть, также является функция плотности вероятности с тем свойством , что$x(t)$$x(t) \geq 0$$t$$x(0) = 1$$X(f)$$X(f) \geq 0$$f$

$$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$$ $X(f)$$f$$1$$X(f)$$X(0) = 1$, Одним примером такой пары функций является нормальное распределение, процитированное OP Neil G и еще один пример: $$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$$ $$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$$

Теперь обратите внимание, что - плотность смеси , преобразование Фурье которой равно , который является такой же плотностью смеси.$\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$$\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

Таким образом, если является функцией плотности, преобразование Фурье которой является функцией плотности, то функция плотности смеси является своим собственным преобразованием Фурье.$x(t)$$X(f)$$\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

Наконец, учитывая две плотности, которые являются их собственными преобразованиями Фурье, например, и , любая плотность смеси где является функцией плотности, которая является его собственным преобразованием Фурье.$x_1(t)$$\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

$$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$$ $\alpha \in [0,1]$