Что значит интегрировать по случайной мере?

В настоящее время я смотрю на статью о модели случайных эффектов процесса Дирихле, и спецификация модели выглядит следующим образом: где - параметр масштаба и является базовой мерой. Позже в статье предлагается интегрировать функцию по базовой мере например Базовая мера в процессе Дирихле - это cdf или pdf? Что произойдет, если базовая мера является гауссовой?

\begin{aligned} Y_{я} & знак равно {Икс}_{я} β + ψ_{я} + ε_{я} \\ ψ_{я} & ~ г \\ г & ~ D п (α, г_{0}) \end{aligned}

$\begin{align*}y_{i} &= X_{i}\beta + \psi_{i} + \epsilon_{i}\\ \psi_{i} &\sim G \\ G &\sim \mathcal{DP}\left(\alpha, G_{0}\right) \end{align*}$

α

$\alpha$

G_{0}

$G_{0}$

G_{0}

$G_{0}$

\int е (Y_{J} | θ, ψ_{J}) d г_{0} (ψ_{J}),

$\int f\left(y_{j}|\theta, \psi_{j}\right)\, dG_{0}\left(\psi_{j}\right).$

bayesian dirichlet-distribution dirichlet-process nonparametric-bayes measure-theory Daeyoung Lim
источник

Ответы:

Обозначим через измеримое пространство вероятностных мер, содержащее реализации процесса Дирихле. Случайная вероятностная мера является измеримой функцией а интеграл по - случайной величиной Таким образом, сам по себе является случайным pdf (если является pdf). $\mathcal{M}$ $G$

г : ω \mapsto г_{ω} \in M

$G : \omega \mapsto G_\omega \in \mathcal{M}$

G

$G$

\int е (\cdot | ψ) d г (ψ) : ω \mapsto \int е (\cdot | ψ) d г_{ω} (ψ),

$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi) : \omega \mapsto \int f(\,\cdot\,|\,\psi) dG_\omega(\psi).$

\int f (\cdot | ψ) d G (ψ)

$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi)$

f (\cdot | ψ)

$f(\cdot| \psi)$

Идея заключается в том , что следует некоторое неизвестное распределение . В некоторых случаях у вас могут быть причины полагать, что обычно распределяется, а затем ставить перед собой среднее значение и дисперсию. В других случаях вы не хотите делать такие параметрические предположения. Например, в вашей модели предшествующее - это процесс Дирихле. $\psi_i$ $G$ $\psi_i$ $G$

Базовая мера в процессе Дирихле - это cdf или pdf?

Базовая мера - это любая мера вероятности, обычно принимаемая для получения полной поддержки. В некоторых случаях это может быть представлено функцией плотности вероятности. Это не очень важно.

Оливье
источник