Полезность теоремы Фриша-Во

Я должен преподавать теорему Фриша Во в эконометрике, которую я не изучал.

Я понял математику, стоящую за этим, и я надеюсь, что идея «коэффициент, который вы получаете для определенного коэффициента из множественной линейной модели, равен коэффициенту простой регрессионной модели, если вы« исключаете »влияние других регрессоров». Так что теоретическая идея довольно крутая. (Если я полностью не понял, я приветствую исправление)

Но есть ли у него классические / практические применения?

РЕДАКТИРОВАТЬ : я принял ответ, но все еще готов иметь новые, которые приносят другие примеры / приложения.

Рассмотрим модель данных панели с фиксированными эффектами, также известную как модель фиктивных переменных с наименьшими квадратами (LSDV).

$b_{LSDV}$ может быть вычислено путем непосредственного применения OLS к модели

$$y=X\beta+D\alpha+\epsilon,$$ где$D$ представляет собойматрицу$NT\times N$ манекенов и$\alpha$ представляет индивидуальные фиксированные эффекты.

Другой способ вычисления $b_{LSDV}$ состоит в том, чтобы применить так называемое внутри-преобразование к обычной модели, чтобы получить ее унизительную версию, то есть

$$M_{[D]}y=M_{[D]}X\beta+M_{[D]}\epsilon.$$ Здесь $M_{[D]}=I-D(D'D)^{-1}D'$ , матрица остаточного создателя регрессии на$D$ .

По теореме Фриш-Уо-Ловелл, два эквивалентны, так как FWL говорит , что вы можете вычислить подмножество регрессии коэффициентов регрессии $\hat\beta$ ) по

1. регрессируя $y$ на других регрессорах (здесь, $D$ ), сохраняя остатки (здесь, укороченные по времени $y$ или $M_{[D]}y$ , потому что регрессия на константе просто унижает переменные), тогда
2. регрессия $X$ на $D$ и сохранение остатков $M_{[D]}X$ , и
3. регрессируют невязки друг на друга, $M_{[D]}y$ на $M_{[D]}X$ .

Вторая версия гораздо более широко используется, потому что типичные наборы данных панели могут иметь тысячи единиц панели $N$ , так что при первом подходе вам потребуется запустить регрессию с тысячами регрессоров, что не является хорошей идеей в численном отношении даже в наши дни при быстром компьютеры, поскольку вычисление обратного значения $(D :X)'(D: X)$ было бы очень дорогим, тогда как затрачиваемое на время $y$ и $X$ имеет небольшую стоимость.

Вот упрощенная версия моего первого ответа, который, на мой взгляд, менее актуален, но, возможно, легче «продать» для использования в классе.

Регрессии и у я - ˉ у = К Е J = 2 β J ( х я J - ˉ х J ) + ~ ε я даю одинаковым β J , J = 2 , ...

$$y_i = \beta_1 + \sum_{j=2}^K\beta_jx_{ij} + \epsilon_i$$ $$y_i-\bar{y} = \sum^K_{j=2}\beta_j(x_{ij} - \bar{x}_j) + \tilde{\epsilon}_i$$ $\widehat{\beta}_j$ . Это можно увидеть следующим образом: возьмем x 1 = 1 : = ( 1 , … , 1 ) ′ и, следовательно, M 1 = I - 1 ( 1 ′ 1 ) - 1 1 ′ = I - 1 1$j=2,\ldots,K$$\mathbf{x}_1=\mathbf{1}:=(1,\ldots,1)'$ так что M1xj=xj-1n-11′xj=xj-1 ˉ x j=:xj- ˉ x j. Следовательно, остатки регрессии переменных на константе,M1xj, являются просто униженными переменными (та же логика, конечно, применима кyi). $$M_\mathbf{1}=I-\mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1}\mathbf{1}'=I-\frac{\mathbf{1}\mathbf{1}'}{n},$$ $$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1} n^{-1}\mathbf{1}'\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1}\bar{x}_j=:\mathbf{x}_j-\bar{\mathbf{x}}_j.$$ $M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j$$y_i$

Вот еще один, более косвенный, но я считаю интересным, а именно связь между различными подходами к вычислению частичного коэффициента автокорреляции стационарного временного ряда.

Определение 1

$$\begin{equation} \hat{Y}_{t}-\mu=\alpha^{(m)}_1(Y_{t-1}-\mu)+\alpha^{(m)}_2(Y_{t-2}-\mu)+\ldots+\alpha^{(m)}_m(Y_{t-m}-\mu) \end{equation}$$ $m$$\alpha^{(m)}_m$

$m$$Y_t$$Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$$\rho_m$$Y_t$$Y_{t-m}$

$\alpha^{(m)}_j$$Z_t$$X_t$

$$\begin{equation} E[X_t(Z_t-X_t^\top\mathbf{\alpha}^{(m)})]=0 \end{equation}$$ $\mathbf{\alpha}^{(m)}$ $$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=[E(X_tX_t^\top)]^{-1}E[X_tZ_t] \end{equation}$$ $Z_t=Y_t-\mu$ $$X_t=[(Y_{t-1}-\mu),(Y_{t-2}-\mu),\ldots,(Y_{t-m}-\mu)]^\top$$ we have $$E(X_tX_t^\top)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)$$ Also, $$E(X_tZ_t)=\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)$$ Hence, $$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)\end{equation}$$ The $m$th partial correlation then is the last element of the vector $\mathbf{\alpha}^{(m)}$.

So, we sort of run a multiple regression and find one coefficient of interest while controlling for the others.

Definition 2

The $m$th partial correlation is the correlation of the prediction error of $Y_{t+m}$ predicted with $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ with the prediction error of $Y_{t}$ predicted with $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$.

So, we sort of first control for the intermediate lags and then compute the correlation of the residuals.