Плотность нормального распределения при увеличении размеров

Вопрос, который я хочу задать, заключается в следующем: как изменяется доля выборок в пределах 1 SD от среднего значения нормального распределения с увеличением числа вариаций?

(Почти) всем известно, что при одномерном нормальном распределении 68% выборок можно найти в пределах 1 стандартного отклонения от среднего. Как насчет 2, 3, 4, ... размеров? Я знаю, что становится меньше ... но на сколько (точно)? Было бы удобно иметь таблицу с цифрами для 1, 2, 3 ... 10 измерений, а также 1, 2, 3 ... 10 SD. Кто-нибудь может указать на такую ​​таблицу?

Немного больше контекста - у меня есть датчик, который предоставляет данные до 128 каналов. Каждый канал подвержен (независимому) электрическому шуму. Когда я ощущаю калибровочный объект, я могу усреднить достаточное количество измерений и получить среднее значение по 128 каналам вместе со 128 отдельными стандартными отклонениями.

НО ... когда речь идет об отдельных мгновенных показаниях, данные реагируют не так сильно, как 128 отдельных показаний, а как одно считывание (до) 128-мерной векторной величины. Конечно, это лучший способ обработать несколько критических чтений, которые мы берем (обычно 4-6 из 128).

Я хочу понять, что такое «нормальная» вариация и что является «выбросом» в этом векторном пространстве. Я уверен, что видел таблицу, подобную той, которую я описал, которая применима к такой ситуации - кто-нибудь может указать на одну из них?

Давайте возьмем : каждый является нормальным а независимы - я думаю, это то, что вы имеете в виду с более высокими измерениями.X i N ( 0 , 1 ) X $X = (X_1,\dots,X_d) \sim N(0,I)$$X_i$$N(0,1)$$X_i$

Вы сказали бы, что находится в пределах 1 sd от среднего, когда (расстояние между X и его средним значением меньше 1). Теперь так что это происходит с вероятностью где . Вы можете найти это в хороших квадратных столах ци ...| | X | | < 1 | | X | | 2 = X 2 1 + ⋯ + X 2 d ∼ χ 2 ( d ) P ( ξ < 1 ) ξ ∼ χ 2 ( d $X$$||X|| < 1$$||X||^2 = X_1^2 +\cdots+X_d^2\sim \chi^2(d)$$P( \xi < 1 )$$\xi\sim\chi^2(d)$

Вот несколько значений:

$$\begin{array}{ll} d& P(\xi < 1)\\ 1 & 0.68\\ 2 & 0.39 \\ 3 & 0.20 \\ 4 & 0.090 \\ 5 & 0.037 \\ 6 & 0.014 \\ 7 & 0.0052 \\ 8 & 0.0018\\ 9 & 0.00056\\ 10& 0.00017\\ \end{array}$$

И за 2 сд:

$$\begin{array}{ll} d & P(\xi < 4)\\ 1 & 0.95\\ 2 & 0.86\\ 3 & 0.74\\ 4 & 0.59\\ 5 & 0.45\\ 6 & 0.32\\ 7 & 0.22\\ 8 & 0.14\\ 9 & 0.089\\ 10 & 0.053\\ \end{array}$$

Вы можете получить эти значения в R с помощью таких команд, как pchisq(1,df=1:10), pchisq(4,df=1:10)и т. Д.

Постскриптум Как отметил кардинал в комментариях, можно оценить асимптотическое поведение этих вероятностей. CDF переменной имеет вид где - неполная функция , а классика .$\chi^2(d)$ γ(s,y)=∫y0ts-1e-td

$$F_d(x) = P(d/2,x/2) = {\gamma(d/2, x/2) \over \Gamma(d/2)}$$ $\gamma(s,y) = \int_0^y t^{s-1} e^{-t} \mathrm d t$$\gamma$$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} \mathrm d t$

Когда является целым числом, повторное интегрирование по частям показывает, что Что является хвостом CDF распределения Пуассона.P ( s , y ) = e - y ∞ ∑ k = s y $s$

$$P(s,y) = e^{-y} \sum_{k=s}^\infty {y^k \over k!},$$

Теперь в этой сумме преобладает ее первый член (большое спасибо кардиналу): для больших . Мы можем применить это, когда чётно: для больших четный , предпоследняя эквивалентность по формуле Стирлинга. Из этой формулы мы видим, что асимптотическое затухание очень быстро с ростом .sdP(ξ<x)=P(d/2,x/2)∼$P(s,y) \sim {y^s \over s!} e^{-y}$$s$$d$д

$$P(\xi < x) = P(d/2,x/2) \sim {1 \over (d/2)!} \left({x\over 2}\right)^{d/2} e^{-x/2} \sim {1\over\sqrt{\pi d}}e^{{1\over 2}(d-x)} \left({x\over d}\right)^{d\over 2} \sim {1\over\sqrt\pi} e^{-{1\over 2}x} d^{-{1\over 2}d},$$ $d$$d$