Почему эта регрессия НЕ терпит неудачу из-за совершенной мультиколлинеарности, хотя одна переменная является линейной комбинацией других?

Сегодня я играл с небольшим набором данных и выполнил простую регрессию OLS, которую я ожидал потерпеть неудачу из-за совершенной мультиколлинеарности. Однако это не так. Это подразумевает, что мое понимание мультиколлинеарности неверно.

Мой вопрос: где я не прав?

Я думаю, что могу показать, что одна из моих переменных является линейной комбинацией других. Это должно привести к матрице регрессоров, которая не имеет полного ранга, и поэтому коэффициенты не должны быть идентифицированы.

Я сгенерировал небольшой воспроизводимый набор данных (код ниже) :

   exporter importer      flow     dist intraUS
1    Canada   Canada  996.8677 6.367287       0
2   Florida   Canada  995.8219 9.190562       0
3     Texas   Canada 1001.6475 4.359063       0
4    Mexico   Canada 1002.4371 7.476649       0
5    Canada  Florida 1002.8789 5.389223       0
6   Florida  Florida 1007.5589 6.779686       1
7     Texas  Florida  996.8938 1.570600       1
8    Mexico  Florida 1005.6247 5.910133       0
9    Canada    Texas  999.9190 7.887672       0
10  Florida    Texas 1004.1061 7.187803       1
11    Texas    Texas 1004.5949 7.564273       1
12   Mexico    Texas 1000.3728 2.021297       0
13   Canada   Mexico 1003.0991 5.887743       0
14  Florida   Mexico  999.2210 3.058495       0
15    Texas   Mexico  997.6092 6.835883       0
16   Mexico   Mexico 1006.7934 5.794425       0

Каждый раз , когда экспортер и импортер являются американскими штатами, фиктивное intraUSэто 1.

Теперь я выполняю регрессию (торговли) flowс на exporterи importerманекенов, distANCE и intraUSсоской. Подача R с помощью следующей формулы lm(flow ~ dist + exporter + importer + intraUS, data = dat)возвращает оценки для всех коэффициентов, без пропущенных значений или предупреждения об особенностях:

(Intercept)            dist exporterFlorida   exporterTexas  exporterMexico importerFlorida   importerTexas  importerMexico        intraUS1 
995.1033157       0.5744661      -1.2340338      -1.8792073       3.7375783       3.0361727       1.3256032       3.3225512       4.2429599

Это озадачивает меня, потому что матрица регрессоров ясно указывает на то, что intraUSпредставляет собой линейную комбинацию exporterFlorida, importerFlorida, exporterTexasи importerTexas:

> mmat <- data.frame(model.matrix(lm(flow ~ dist + exporter + importer + intraUS, data = dat)))

   X.Intercept.     dist exporterFlorida exporterTexas exporterMexico importerFlorida importerTexas importerMexico intraUS1
1             1 6.367287               0             0              0               0             0              0        0
2             1 9.190562               1             0              0               0             0              0        0
3             1 4.359063               0             1              0               0             0              0        0
4             1 7.476649               0             0              1               0             0              0        0
5             1 5.389223               0             0              0               1             0              0        0
6             1 6.779686               1             0              0               1             0              0        1
7             1 1.570600               0             1              0               1             0              0        1
8             1 5.910133               0             0              1               1             0              0        0
9             1 7.887672               0             0              0               0             1              0        0
10            1 7.187803               1             0              0               0             1              0        1
11            1 7.564273               0             1              0               0             1              0        1
12            1 2.021297               0             0              1               0             1              0        0
13            1 5.887743               0             0              0               0             0              1        0
14            1 3.058495               1             0              0               0             0              1        0
15            1 6.835883               0             1              0               0             0              1        0
16            1 5.794425               0             0              1               0             0              1        0

Расчет exporterFlorida * importerFlorida + exporterFlorida * importerTexas + exporterTexas * importerFlorida + exporterTexas * importerTexasдает - что неудивительно - точно значения в intraUS1.

Итак, мой вопрос, опять же : почему эта регрессия не терпит неудачу, учитывая, что одна переменная является линейной комбинацией других?

Ниже полного кода воспроизведите оценку:

## Generate data ####

set.seed(1)
states <- c("Canada", "Florida", "Texas", "Mexico")
dat <- expand.grid(states, states)
colnames(dat) <- c("exporter", "importer")

dat[, "flow"] <- NA
dat[, "dist"] <- NA
dat[, "intraUS"] <- 0

for (i in 1:nrow(dat)) {
  dat[i, c("flow", "dist")] <- c(rnorm(1, mean = 1000, sd = 5), rnorm(1, mean = 6, sd = 2))
  if (dat[i, "exporter"] %in% states[2:3] && dat[i, "importer"] %in% states[2:3]) {
    dat[i, "intraUS"] <- 1
  }
}
dat$intraUS <- factor(dat$intraUS)

## Run regression - works! ####

summary(lm(flow ~ dist + exporter + importer + intraUS, data = dat))

## Show that "intraUS1" is a linear combination of the dummies. ####

mmat <- data.frame(model.matrix(lm(flow ~ dist + exporter + importer + intraUS, data = dat)))

cbind(mmat, test = with(mmat,
                        exporterFlorida * importerFlorida + exporterFlorida * importerTexas +
                        exporterTexas * importerFlorida + exporterTexas * importerTexas
                        ))[, c("intraUS1", "test")]

exporterFlorida * importerFlorida + exporterFlorida * importerTexas + exporterTexas * importerFlorida + exporterTexas * importerTexas

Это не является линейной комбинацией exporterFlorida, importerFlorida, importerTexasи exporterTexas. В линейной комбинации коэффициенты векторов должны быть постоянными . Так что-то вроде

2*importerFlorida + 3*importerTexas - exporterFlorida - 2*exporterTexas

представляет собой линейную комбинацию.

То, что у вас есть, можно было бы назвать квадратичной комбинацией, но это растягивает терминологию на землю "Я делаю вещи".