Центральная предельная теорема и распределение Парето

Может ли кто-нибудь предоставить простое (непрофессиональное) объяснение связи между распределениями Парето и теоремой о центральном пределе (например, применимо ли это? Почему / почему нет?)? Я пытаюсь понять следующее утверждение:

«Центральная предельная теорема не работает с каждым распределением. Это связано с одним подлым фактом - выборочные средства группируются вокруг среднего значения базового распределения, если оно существует. Но как распределение может не иметь значения? Хорошо, одно общее распределение это не значит, что это распределение Парето. Если вы попытаетесь рассчитать его, используя обычные методы, оно будет расходиться до бесконечности ».

В общем, это утверждение неверно - распределение Парето имеет конечное среднее значение, если его параметр формы ( $\alpha$ в звене) больше 1.

Когда существует среднее значение и дисперсия ( $\alpha>2$ ), будут применяться обычные формы центральной предельной теоремы - например, классическая, Ляпунова, Линдеберга

Смотрите описание классической центральной предельной теоремы здесь

Цитата довольно странная, потому что центральная предельная теорема (в любой из упомянутых форм) относится не к самому образцу среднего значения, а к стандартизированному среднему (и если мы попытаемся применить его к чему-то, чье среднее значение и дисперсия конечно, нам нужно очень тщательно объяснить, о чем мы говорим, поскольку числитель и знаменатель включают вещи, которые не имеют конечных ограничений).

Тем не менее (несмотря на то, что они не совсем правильно выражены для того, чтобы говорить о центральных предельных теоремах), у него действительно есть кое-что из основного пункта - среднее значение выборки не будет сходиться к среднему значению населенности ( слабый закон больших чисел не выполняется, поскольку интеграл, определяющий среднее, не является конечным).

Как справедливо указывает kjetil в комментариях, если мы хотим, чтобы скорость конвергенции не была ужасной (т. Е. Чтобы иметь возможность использовать ее на практике), нам нужно какое-то ограничение на «как далеко» / «как быстро» приближение приближения. Бесполезно иметь адекватное приближение для $n> 10^{10^{100}}$ (скажем), если мы хотим некоторого практического использования от нормального приближения.

$E(|X|^3)$

$\alpha\gt 3$$n$

$\alpha > 2$

$\alpha=2.1$$\alpha=3.1$

###  Pareto dist and the central limit theorem
###
require(actuar) # for (dpqr)pareto1()
require(MASS) #  for Scott()
require(scales) # for alpha()
# We use (dpqr)pareto1(x,alpha,1)
#
alpha <- 2.1  #  variance just barely exist
E <-  function(alpha) ifelse(alpha <= 1,Inf,alpha/(alpha-1))
VAR <- function(alpha) ifelse(alpha <= 2,Inf,alpha/((alpha-1)^2 * (alpha-2)))

R <- 10000
e <-  E(alpha)
sigma  <-  sqrt(VAR(alpha))
sim <-  function(n) {
    replicate(R, {x <- rpareto1(n,alpha,1)
        x <- x-e
        mean(x)*sqrt(n)/sigma },simplify=TRUE)
}
sim1 <- sim(10)
sim2 <- sim(100)
sim3 <- sim(1000)
sim4 <- sim(10000) # do take some time ...

### These are standardized so have all theoretically variance 1.
### But due to the long tail, the empirical variances are (surprisingly!) much lower:

sd(sim1)
sd(sim2)
sd(sim3)
sd(sim4)

### Now we plot the histograms:
    hist(sim1,prob=TRUE,breaks="Scott",col=alpha("grey05",0.95),main="simulated pareto means",xlim=c(-1.8,16))
hist(sim2,prob=TRUE,breaks="Scott",col=alpha("grey30",0.5),add=TRUE)
hist(sim3,prob=TRUE,breaks="Scott",col=alpha("grey60",0.5),add=TRUE)
hist(sim4,prob=TRUE,breaks="Scott",col=alpha("grey90",0.5),add=TRUE)
plot(dnorm,from=-1.8,to=5,col=alpha("red",0.5),add=TRUE)

А вот и сюжет:

$n=10000$$\sigma^2=1$, Практический способ думать об этом заключается в следующем. Распределение Парето часто предлагается для моделирования распределения дохода (или богатства). Ожидание дохода (или богатства) будет иметь очень большой вклад от нескольких миллиардов. Выборка с практическими размерами выборки будет иметь очень малую вероятность включения любых миллиардов в выборку!

Мне нравятся уже предоставленные ответы, но я думаю, что для «объяснения непрофессионала» есть много технических, поэтому я попробую что-то более интуитивное (начиная с уравнения ...).

$p$

$\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_i x_i$$\mu$$p$$n$$n$$\bar{x}$$n$$p$

N=10000;
x=rnorm(N,1,1);
y=rep(NA,N);
for(index in seq(1,N))
{
y[index]=mean(x[1:index])
}
png('~/Desktop/normalMean.png')
plot(y,type='l',xlab='n',ylab='sum(x_i)/n')
dev.off()

Это типичная реализация: среднее значение выборки сходится к среднему плотности достаточно правильно (и в среднем по способу, указанному в центральной предельной теореме). Давайте сделаем то же самое для распределения Парето без среднего (замена rnorm (N, 1,1); на парето (N, 1,1,1);)

$p(x) \cdot x$$x$$x$

$n$$\int (x-\mu)^2 p(x) dx$