Как связаны функция ошибок и функция стандартного нормального распределения?

Если стандартным нормальным PDF является

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$$

и CDF - это

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$$

как это превращается в функцию ошибки ?$z$

Поскольку это часто встречается в некоторых системах (например, Mathematica настаивает на выражении Normal CDF в терминах ), хорошо иметь такой поток, который документирует отношения.$\text{Erf}$

---

По определению, функция ошибки является

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$$

Запись подразумевает (потому что не является отрицательным), откуда . Конечные точки t = 0 и t = x становятся z = 0 и z = x √т = г / $t^2 = z^2/2$ тдт=дз/$t = z / \sqrt{2}$$t$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$$t=0$$t=x$$z=0$ . Чтобы преобразовать полученный интеграл во что-то, что выглядит как кумулятивная функция распределения (CDF), он должен быть выражен через интегралы, которые имеют нижние пределы-∞, таким образом:$z=x\sqrt{2}$$-\infty$

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$$

Эти интегралы в правом размере являются значениями CDF стандартного нормального распределения,

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$$

В частности,

$$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$$

Это показывает, как выразить функцию ошибки в терминах обычного CDF. Алгебраическое манипулирование этим легко дает нормальный CDF с точки зрения функции ошибок:

$$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$$

---

Эта связь (для реальных чисел, во всяком случае) показана на графиках двух функций. Графики являются идентичными кривыми. Координаты функции ошибок слева преобразуются в координаты справа путем умножения координат x на $\Phi$$x$$\sqrt{2}$$1$$y$$y$$2$

$$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$$

в которой обозначение явно показывает эти три операции умножения, сложения и деления.