Как связаны функция ошибок и функция стандартного нормального распределения?

10

Если стандартным нормальным PDF является

е(Икс)знак равно12πе-Икс2/2

и CDF - это

F(Икс)знак равно12π-Иксе-Икс2/2dИкс,

как это превращается в функцию ошибки ?Z

TH4454
источник
johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
Марк Л. Стоун
Я видел это, но это начинается с ERF уже определены.
TH4454 21.12.15
Ну, есть определение erf и определение Normal CDF. Отношения, получаемые с помощью некоторых рутинных вычислений, показывают, как конвертировать между ними и как конвертировать между их инверсиями.
Марк Л. Стоун
Извините, я не вижу многих деталей. Например, CDF имеет значение от -Inf до x. Так, как ERF идет от 0 до х?
TH4454 22.12.15
Вы знакомы с техникой исчисления изменения переменной? Если нет, научитесь делать это.
Марк Л. Стоун

Ответы:

17

Поскольку это часто встречается в некоторых системах (например, Mathematica настаивает на выражении Normal CDF в терминах ), хорошо иметь такой поток, который документирует отношения.приусадебный участок


По определению, функция ошибки является

приусадебный участок(Икс)знак равно2π0Иксе-T2dT,

Запись подразумевает (потому что не является отрицательным), откуда . Конечные точки t = 0 и t = x становятся z = 0 и z = x т = г / T2знак равноZ2/2 тдт=дз/Tзнак равноZ/2TdTзнак равноdZ/2Tзнак равно0Tзнак равноИксZзнак равно0 . Чтобы преобразовать полученный интеграл во что-то, что выглядит как кумулятивная функция распределения (CDF), он должен быть выражен через интегралы, которые имеют нижние пределы-, таким образом:Zзнак равноИкс2-

приусадебный участок(Икс)знак равно22π0Икс2е-Z2/2dZзнак равно2(12π-Икс2е-Z2/2dZ-12π-0е-Z2/2dZ),

Эти интегралы в правом размере являются значениями CDF стандартного нормального распределения,

Φ(Икс)знак равно12π-Иксе-Z2/2dZ,

В частности,

приусадебный участок(Икс)знак равно2(Φ(Икс2)-Φ(0))знак равно2(Φ(Икс2)-12)знак равно2Φ(Икс2)-1.

Это показывает, как выразить функцию ошибки в терминах обычного CDF. Алгебраическое манипулирование этим легко дает нормальный CDF с точки зрения функции ошибок:

Φ(Икс)знак равно1+приусадебный участок(Икс/2)2,

Эта связь (для реальных чисел, во всяком случае) показана на графиках двух функций. Графики являются идентичными кривыми. Координаты функции ошибок слева преобразуются в координаты справа путем умножения координат x на ΦИкс21YY2

Φ(Икс2)знак равноприусадебный участок(Икс)+12

в которой обозначение явно показывает эти три операции умножения, сложения и деления.

фигура

Whuber
источник
Φ(Икс,μ,σ)знак равно12(1+приусадебный участок(Икс-μσ2))