Итак, у нас был Секретный Санта на работе.
Нас 8 человек. Каждый из нас по очереди вытащил маленький кусочек бумаги из миски с именем на нем. Единственное правило: если вы вытягиваете свое имя, вы должны положить лист бумаги обратно в чашу и попробуйте снова.
Давайте назовем людей A, B, C, D, E, F, G, H, что также является порядком, в котором они выбрали свой лист бумаги.
Мы обменялись подарками прошлой ночью.
А был секретом Ф. Санта.
Б был секретом Е, Санта.
С был секретным сыном Д.
Д был секретным С Санта.
Е был тайным секретом Санты.
F был секретным Санта Клаусом.
Г был секретным Х. Санта.
H был секретным секретом G
Видишь что случилось? Мы сделали пары.
А и Ф были друг для друга секретом Санты.
B и E были секретом друг друга Санта.
C и D были секретом друг друга Санта.
G и H были секретом друг друга Санта.
Какова вероятность этого и как вы рассчитываете это?
источник
Ответы:
Общее количество назначений среди человек, для которых никто не назначен, составляет (Они называются расстройствами .) Значение очень близко к .d ( 2 n ) = ( 2 n ) ! ( 1 / 2 - 1 / 6 + ⋯ + ( - 1 ) к / к ! + ⋯ + 1 / ( 2 л ) ! ) . ( 2 н ) ! / е2 н
Если они соответствуют идеальным спариваниям, то они являются продуктом непересекающихся транспозиций . Это подразумевает, что их структура цикла имеет вид
Число различных таких шаблонов - это порядок группы всех перестановок имен, деленный на порядок стабилизатора шаблона. Стабилизирующий элемент может поменять любое количество пар, а также переставитьпары, откудастабилизирующие элементы. Поэтому естьn ! 2 n n !2 н н ! 2Nн !
такие пары.
Поскольку все такие идеальные пары - это нарушения, и все нарушения одинаково вероятны, шанс равен
Таким образом, для человек точный ответ равен а приблизительное значение : они согласны с пятью значимыми цифрами.15 / 2119 ≈ 0,00707881 е / ( 2 42 n = 8 15 / 2119 ≈ 0,00707881 е / ( 244 ! ) ≈ 0.00707886
Чтобы проверить, это
R
моделирование рисует миллион случайных перестановок из восьми объектов, сохраняет только те, которые являются нарушениями, и подсчитывает те, которые являются идеальными парами. Он выводит свою оценку, стандартную ошибку оценки и Z-оценку, чтобы сравнить ее с теоретическим значением. Его выводНебольшой Z-показатель соответствует теоретическому значению. (Эти результаты будут соответствовать любому теоретическому значению между и .)0,00730,0066 0,0073
источник
Я был очень впечатлен элегантностью в ответе @whuber. Честно говоря, мне пришлось много знакомиться с новыми концепциями, чтобы следовать этапам его решения. Потратив на это много времени, я решил опубликовать то, что получил. Таким образом, то, что следует, является exegetical примечанием к его уже принятому ответу. Таким образом, нет никакой попытки создать оригинальность, и моя единственная цель - предоставить дополнительные точки привязки, чтобы выполнить некоторые из шагов.
Так что вот так ...
2. Можем ли мы вывести формулу для расстройств?
Теперь, заметив параллельность между LHS этого уравнения и частью RHS в скобках, мы можем продолжить рекурсивно:
Работа в обратном направлении:
Так в общем,
a -> b -> d -> c after which it returns to a
e -> f
Для
R
симуляции:1.
paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0
x[x]
Paul -> Maria
Maria -> Paul
Max -> John
John -> Max
Max -> Maria
Maria -> Max
Paul -> John
John -> Paul
i
2.
good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0
3.
k.paired <- sum(i.good & i.paired)
есть ли исключить парные перестановки, подобные приведенной выше на диаграмме, которые не являются отклонениями:источник