Как работает метод обратного преобразования?

Как работает метод инверсии?
Скажем , у меня случайную выборку $X_1,X_2,...,X_n$ с плотностью $f(x;\theta)={1\over \theta} x^{(1-\theta)\over \theta}$ более
$0<x<1$и, следовательно, cdf$F_X(x)=x^{1/\theta}$на$(0,1)$. Тогда методом обращения я получаю распределение$X$как$F_X^{-1}(u)=u^\theta$.

Так есть ли $u^\theta$ распределение $X$ ? Так работает метод инверсии?

u<-runif(n)
x<-u^(theta)

Метод очень прост, поэтому я опишу его простыми словами. Сначала возьмем кумулятивную функцию распределения некоторого распределения, из которого вы хотите произвести выборку. Функция принимает в качестве входных данных некоторое значение $F_X$$x$ и сообщает, какова вероятность получения . Так$X \leq x$

в противоположность такой функции, будет принимать p в качестве входных данных и возвращать x . Обратите внимание , что р «s равномерно распределены - это может быть использовано для отбора проб из любого F X , если вы знаете , F - 1 X . Метод называется выборкой обратного преобразования . Идея очень проста: легко сэмплировать значения равномерно из U ( 0 , 1 ) , поэтому, если вы хотите сэмплировать из некоторого F X , просто возьмите значения u $F_X^{-1}$$p$$x$$p$$F_X$$F_X^{-1}$$U(0, 1)$$F_X$ и передать U через F - 1 X , чтобы получить х «ы$u \sim U(0, 1)$$u$$F_X^{-1}$$x$

или в R (для нормального распределения)

U <- runif(1e6)
X <- qnorm(U)

Чтобы визуализировать это, посмотрите на CDF ниже, как правило, мы думаем о распределениях в терминах рассмотрения оси для вероятностей значений из оси X. С помощью этого метода выборки мы делаем противоположное и начинаем с «вероятностей» и используем их для выбора значений, которые с ними связаны. С дискретными распределениями вы рассматриваете U как строку от 0 до 1 и присваиваете значения, основанные на том, где находится некоторая точка u на этой линии (например, 0, если 0 ≤ u < 0,5 или 1, если 0,5 ≤ u ≤ 1 для выборки из $y$$x$$U$$0$$1$$u$$0$$0 \leq u < 0.5$$1$$0.5 \leq u \leq 1$ ).$\mathrm{Bernoulli}(0.5)$

К сожалению, это не всегда возможно, так как не у каждой функции есть обратное, например, вы не можете использовать этот метод с двумерными распределениями. Он также не должен быть самым эффективным методом во всех ситуациях, во многих случаях существуют лучшие алгоритмы.

Вы также спросите, каково распределение . Поскольку F - 1 X является обратным к F X , то F X ( F - 1 X ( u ) ) = u и F - 1 X ( F X ( x ) ) = x , поэтому да, значения, полученные с помощью такого метода, имеют такое же распределение , как X . Вы можете проверить это с помощью простой симуляции$F_X^{-1}(u)$$F_X^{-1}$$F_X$$F_X(F_X^{-1}(u)) = u$$F_X^{-1}(F_X(x)) = x$$X$

U <- runif(1e6)
all.equal(pnorm(qnorm(U)), U)

Да, имеет распределение X .$U^θ$$X$

Две дополнительные точки на интуиции за методом обратного преобразования могут быть полезны

(1) Для того, чтобы понять, что $F^{-1}$ самом деле означает обратитесь к графику в ответе Тима, чтобы помочь мне понять функцию квантиля (обратный CDF)

(2) [Пожалуйста, просто проигнорируйте следующее, если это принесет больше путаницы вместо ясности]

Пусть быть любой случайной величины (с.в.) с непрерывной и строго возрастающей CDF F . Тогда F ( X ) ∼ Unif ( 0 , 1 ). Обозначения в обозначениях: X - rv. Следовательно, функция rv X , F ( X ) - сама rv. $X$$F$

Например, если вы бы перевернули вопрос, чтобы иметь доступ к и захотели сгенерировать стандартную униформу, то X 1 / θ ∼ Unif ( 0 , 1 ) . Пусть называть эту случайную величину U . Таким образом , U = X 1 / θ Возвращаясь к вашему вопросу, вы имеете противоположную задачу: сформировать X из U . Итак, действительно X = U $X$$X^{1/\theta} \sim \text{Unif}(0,1)$$U$

PS. Альтернативными названиями метода являются вероятностное интегральное преобразование, выборка обратного преобразования, квантильное преобразование и, в некоторых источниках, «фундаментальная теорема моделирования».