Что означает суперскрипт 2, индекс 2 в контексте норм?

20

Я новичок в оптимизации. Я продолжаю видеть уравнения, которые имеют верхний индекс 2 и нижний индекс 2 в правой части нормы. Например, вот уравнение наименьших квадратов

мин||Axb||22

Я думаю, что понимаю верхний индекс 2: это означает возвести в квадрат значение нормы. Но что такое индекс 2? Как я должен читать эти уравнения?

bernie2436
источник
3
||θ||p есть p -норма θ . Скажем, θ является d мерным, тогда ||θ||p=(i=1d|θi|p)1p .
Соби
Одиночные вертикальные полосы используются для абсолютного значения (величины): |θ|
Scortchi - Восстановить Монику
Спасибо! ... но для чего нужен верхний индекс 2? ... нижний индекс для p-й нормы .... верхний индекс для?
mathopt
@ user1467929: Квадрат - если бы это было что-то еще, что они наверняка сказали бы.
Scortchi - Восстановить Монику

Ответы:

19

Вы правы насчет верхнего индекса. Индекс ||.||p определяет p норму.

Следовательно:

||xi||p=(i|xi|p)1/p

И:

||xi||pp=i|xi|p
RUser4512
источник
ах. И есть соглашения для значений подписчиков, которые я вижу. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(matmatics)#p-norm . Так как 1 = норма такси, 2 = норма Евклида и т. Д.
bernie2436
@ bernie2436: Это особые случаи общего определения, данного в ответе выше (за исключением, может быть, sup-norm с )p=
Майкл М
14

x x 2 2 x x x 2 : = x2 - евклидова норма вектора ; - квадрат евклидовой нормы . Обратите внимание, что, поскольку евклидова норма, вероятно, является наиболее часто используемой нормой, люди обычно сокращаются до, По определению при допущении евклидова векторного пространства: .xx22xxx2:=x12+x22++xn2

Как уже упоминалось в комментариях, индекс относится к степени нормы. Другие обычно используемые нормы для , и . При получается число ненулевых элементов в , при (т. ) - норма Манхэттена, а при - максимальное абсолютное значение из элементов. в . И и популярны в разреженных / сжатых настройках приложения, где нужно «призвать» некоторые коэффициенты к нулю.p = 0 p = 1 p = p = 0 x p = 1 x 1 p = x p = 0 p = 1pp=0p=1p=p=0xp=1x1пзнак равноИкспзнак равно0пзнак равно1

usεr11852 говорит восстановить Monic
источник