Что такое автокорреляция для случайной прогулки?

Кажется, это действительно высоко, но это противоречит мне. Может кто-нибудь объяснить, пожалуйста? Я очень смущен этим вопросом и был бы признателен за подробное, проницательное объяснение. Заранее большое спасибо!

(Я написал это как ответ на другой пост, который был помечен как дубликат этого, пока я составлял его; я решил, что я опубликую его здесь, а не выбрасываю. Похоже, что он говорит совершенно аналогично тому, что ответ, но это достаточно отличается, чтобы кто-то мог получить что-то из этого.)

Случайное блуждание имеет вид$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Обратите внимание, что$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

Следовательно, .$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

Также обратите внимание, что$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

Следовательно, .$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

То есть, вы должны увидеть корреляцию почти 1, потому что как только начинает становиться большим, и - это почти одно и то же - относительная разница между ними, как правило, довольно мала.$t$$y_t$$y_{t-1}$

Вы можете легко увидеть это, построив график vs .$y_t$$y_{t-1}$

Теперь мы можем видеть это несколько интуитивно - представьте, что опустился до (как мы видим в моей имитации случайного блуждания со стандартным условием нормального шума). Тогда будет довольно близко к ; это может быть или но почти наверняка это будет в пределах нескольких единиц . Так как ряды перемещаются вверх и вниз, график против почти всегда будет оставаться в довольно узком диапазоне линии ... но с ростом точки будут охватывать больше и больше тянется вдоль этого - 20 y t - 20 - 22 - 18,5 - $y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$линия (разброс вдоль линии увеличивается с , но вертикальный разброс остается примерно постоянным); корреляция должна приближаться к 1.$\sqrt{t}$

В контексте вашего предыдущего вопроса «случайное блуждание» - это одна реализация биномиального случайного блуждания. Автокорреляция - это корреляция между вектором и вектором следующих элементов .( х 0 , х $(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$

Сама конструкция биномиального случайного блуждания приводит к тому, что каждый отличается от каждого константой. $x_{i+1}$$x_i$ После некоторого запуска значения будут отклоняться от начального значения и, таким образом, обычно будут охватывать хороший диапазон, обычно пропорциональный длине . Таким образом, диаграмма рассеяния lag-1 пар будет состоять из точек, лежащих только на линиях , в среднем близких к линии . Остатки будут близки к$x_i$$x_0$ (xi,x i + $\sqrt{n}$y = x ± 1 y = x ± 1 1 ( $(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$, Следовательно, в подавляющем большинстве реализаций дисперсия остатков (около ) по сравнению с дисперсией значений (примерно порядка ) будет небольшой , Мы ожидаем, что будет примерно$1$R$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$$

Вот изображение шагов в случайном блуждании (слева) и его диаграммы рассеяния lag-1 (справа). Цветовое кодирование используется, чтобы помочь вам найти соответствующие точки на двух графиках. Обратите внимание, что в этом случае очень близок к .R 2 1 - 4 /$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

---

Вот Rкод, который произвел изображения.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))