Пример последовательной и предвзятой оценки?

13

Действительно озадачен этим. Мне бы очень хотелось, чтобы пример или ситуация, когда оценка B была бы последовательной и предвзятой.

Джимми Уигглз
источник
3
Это для класса?
Glen_b
5
Я думаю, что поздняя спецификация, которую вы ищете для примера временного ряда, преобразует это в другой вопрос, поскольку это лишит законной силы уже предоставленные превосходные ответы. Но это нормально - Вы можете задать новый вопрос.
Sycorax говорит восстановить Монику
6
Я вижу, вы изменили свой вопрос. Учитывая, что несколько ответов уже касались вашего предыдущего вопроса, я советую вам поменять его обратно и опубликовать новый вопрос специально для моделей временных рядов.
JohnK
3
Удивительно, что даже если вы запрашиваете оценку, связанную с временными рядами, никто не упомянул OLS для AR (1). Оценка является предвзятой, но последовательной, и ее довольно легко показать (и поиск в Google даст вам много материала по этому вопросу). Редактировать: похоже, что запрос временного ряда был поздним дополнением, что объясняло бы отсутствие таких ответов ...
hejseb
2
Вот довольно тривиальный пример: , . ϵ0X¯n+ϵ/nϵ0
dsaxton

Ответы:

23

Самый простой пример, который я могу вспомнить, - это выборочная дисперсия, которая интуитивно понятна большинству из нас, а именно сумма квадратов отклонений, деленная на вместо :nn1

Sn2=1ni=1n(XiX¯)2

Нетрудно показать, что и поэтому оценка смещена. Но, предполагая конечную дисперсию , обратите внимание, что смещение стремится к нулю при потому чтоE(Sn2)=n1nσ2σ2n

E(Sn2)σ2=1nσ2

Также можно показать, что дисперсия оценки стремится к нулю, и поэтому оценка сходится в среднеквадратичном . Следовательно, оно также сходится по вероятности .

JohnK
источник
1
Это полезный пример, хотя здесь может применяться довольно слабая интерпретация «предвзятости» (которая используется несколько двусмысленно в самом вопросе). Можно также попросить что-то более сильное, например, последовательность оценки, которая является последовательной, но с уклоном, который не исчезает даже асимптотически.
кардинал
@cardinal Смещение должно асимптотически исчезать, чтобы оценка была последовательной, не так ли?
JohnK
3
Нет. (См поток комментариев для более подробной информации.)
кардинал
Я думаю , что было бы полезно вызов вашей оценки сг 2 , а не S 2 , а S 2 наиболее обычно относится к несмещенной оценки, в то время как сг 2 часто относится к ОМП. σ^2S2S2σ^2
Клифф AB
@CliffAB Да, это то, что обозначает индекс , сумма квадратов отклонений делится на n вместо обычных n - 1 . nnn1
JohnK
9

Простой пример будет оценка параметра & данного п IID наблюдения у я ~ Равномерный [ 0 ,θ>0n .yiUniform[0,θ]

θ^n=max{y1,,yn}E [ θ n ] < θ θnE[θn]<θθ

Адриан
источник
6

Рассмотрим любой несмещенный и непротиворечивый оценщик и последовательность сходящуюся к 1 ( не должен быть случайным), и сформируйте . Он смещен, но непротиворечив, поскольку сходится к 1.α n α n α n T n α nTnαnαnαnTnαn

Из википедии:

Грубо говоря, оценщик параметра называется непротиворечивым, если он сходится по вероятности к истинному значению параметра: θ plim n Tnθ

plimnTn=θ.

Теперь напомним, что смещение оценки определяется как:

Biasθ[θ^]=Eθ[θ^]θ

Смещение действительно ненулевое, и сходимость по вероятности остается верной.

RUser4512
источник
Я ценю ответ и объяснение. Теперь у меня есть лучшее понимание. Спасибо
Джимми Вигглз
Этот ответ вначале нуждается в небольшом исправлении, чтобы прояснить, что не любой непредвзятый подойдет. Сама исходная последовательность оценки должна быть последовательной. Tn
кардинал
2

В настройке временного ряда с отстающей зависимой переменной, включенной в качестве регрессора, оценка OLS будет согласованной, но смещенной. Причина этого заключается в том, что для того, чтобы показать объективность оценки OLS, нам нужна строгая экзогенность, , т. е. член ошибки в период не связан со всеми регрессорами во все периоды времени. Тем не менее, чтобы показать непротиворечивость оценки OLS, нам нужна только одновременная экзогенность, , то есть термин ошибки, , в период не связан с регрессорами, ε t tE [ ε t | x t ] ε t tx t ty t =ρy t - 1 +ε t ,E[εt|x1,x2,,,xT]εttE[εt|xt]εttxt в период . Рассмотрим модель AR (1): с отныне.tyt=ρyt1+εt,εtN(0,σε2)xt=yt1

Сначала я покажу, что строгая экзогенность не имеет места в модели с лаговой зависимой переменной, включенной в качестве регрессора. Давайте посмотрим на соотношение между иεtxt+1=yt

E[εtxt+1]=E[εtyt]=E[εt(ρyt1+εt)]

=ρE(εtyt1)+E(εt2)

=E(εt2)=σε2>0 (Eq.(1)).

Если предположить последовательную экзогенность, то , то есть термин ошибки, , в период не связан со всеми регрессорами в предыдущих периодах времени и текущим, то есть первым слагаемым выше, , исчезнет. Из вышесказанного ясно, что если у нас нет строгой экзогенности, ожидание . Однако должно быть ясно, что современная экзогенность, , имеет место.E[εty1,y2,,yt1]=0εttρE(εtyt1)E[εtxt+1]=E[εtyt]0E[εt|xt]

Теперь давайте посмотрим на смещение оценки OLS при оценке модели AR (1), указанной выше. Оценка OLS для , имеет вид:ρρ^

ρ^=1Tt=1Tytyt11Tt=1Tyt2=1Tt=1T(ρyt1+εt)yt11Tt=1Tyt2=ρ+1Tt=1Tεtyt11Tt=1Tyt2 (Eq.(2))

Затем возьмите условное ожидание для всех предыдущих, текущих и будущих значений: , :E[εt|y1,y2,,,yT1]Eq.(2)

E[ρ^|y1,y2,,,yT1]=ρ+1Tt=1T[εt|y1,y2,,,yT1]yt11Tt=1Tyt2

Тем не менее, мы знаем из что , что означает, что и, следовательно, но смещено:Eq.(1)E[εtyt]=E(εt2)[εt|y1,y2,,,yT1]01Tt=1T[εt|y1,y2,,,yT1]yt11Tt=1Tyt20E[ρ^|y1,y2,,,yT1]ρE[ρ^|y1,y2,,,yT1]=ρ+1Tt=1T[εt|y1,y2,,,yT1]yt11Tt=1Tyt2=ρ+1Tt=1TE(εt2)yt11Tt=1Tyt2=ρ+1Tt=1Tσε2yt11Tt=1Tyt2 .

Все, что я предполагаю, чтобы показать непротиворечивость оценки OLS в модели AR (1), это одновременная экзогенность, что приводит к условию момента, с . Как и прежде, мы имеем, что оценка OLS для , задается как:E[εt|xt]=E[εt|yt1]=0E[εtxt]=0xt=yt1ρρ^

ρ^=1Tt=1Tytyt11Tt=1Tyt2=1Tt=1T(ρyt1+εt)yt11Tt=1Tyt2=ρ+1Tt=1Tεtyt11Tt=1Tyt2

Теперь предположим, что и является положительным и конечным, .plim1Tt=1Tyt2=σy2σy20<σy2<

Тогда, когда и пока действует закон больших чисел (LLN), мы имеем . Используя этот результат, мы имеем:Tplim1Tt=1Tεtyt1=E[εtyt1]=0

plimρ^T=ρ+plim1Tt=1Tεtyt1plim1Tt=1Tyt2=ρ+0σy2=ρ

Тем самым было показано, что оценка OLS для , в модели AR (1) является предвзятой, но непротиворечивой. Обратите внимание, что этот результат справедлив для всех регрессий, в которых в качестве регрессора включена отстающая зависимая переменная.ρpρ^

Plissken
источник