Действительно озадачен этим. Мне бы очень хотелось, чтобы пример или ситуация, когда оценка B была бы последовательной и предвзятой.
mathematical-statistics
estimation
econometrics
Джимми Уигглз
источник
источник
Ответы:
Самый простой пример, который я могу вспомнить, - это выборочная дисперсия, которая интуитивно понятна большинству из нас, а именно сумма квадратов отклонений, деленная на вместо :n n−1
Нетрудно показать, что и поэтому оценка смещена. Но, предполагая конечную дисперсию , обратите внимание, что смещение стремится к нулю при потому чтоE(S2n)=n−1nσ2 σ2 n→∞
Также можно показать, что дисперсия оценки стремится к нулю, и поэтому оценка сходится в среднеквадратичном . Следовательно, оно также сходится по вероятности .
источник
Простой пример будет оценка параметра & данного п IID наблюдения у я ~ Равномерный [ 0 ,θ>0 n .yi∼Uniform[0,θ]
источник
Рассмотрим любой несмещенный и непротиворечивый оценщик и последовательность сходящуюся к 1 ( не должен быть случайным), и сформируйте . Он смещен, но непротиворечив, поскольку сходится к 1.α n α n α n T n α nTn αn αn αnTn αn
Из википедии:
Грубо говоря, оценщик параметра называется непротиворечивым, если он сходится по вероятности к истинному значению параметра: θ plim n → ∞Tn θ
Теперь напомним, что смещение оценки определяется как:
Смещение действительно ненулевое, и сходимость по вероятности остается верной.
источник
В настройке временного ряда с отстающей зависимой переменной, включенной в качестве регрессора, оценка OLS будет согласованной, но смещенной. Причина этого заключается в том, что для того, чтобы показать объективность оценки OLS, нам нужна строгая экзогенность, , т. е. член ошибки в период не связан со всеми регрессорами во все периоды времени. Тем не менее, чтобы показать непротиворечивость оценки OLS, нам нужна только одновременная экзогенность, , то есть термин ошибки, , в период не связан с регрессорами, ε t tE [ ε t | x t ] ε t tx t ty t =ρy t - 1 +ε t ,E[εt|x1,x2,,…,xT] εt t E[εt|xt] εt t xt в период . Рассмотрим модель AR (1):
с отныне.t yt=ρyt−1+εt,εt∼N(0,σ2ε) xt=yt−1
Сначала я покажу, что строгая экзогенность не имеет места в модели с лаговой зависимой переменной, включенной в качестве регрессора. Давайте посмотрим на соотношение между иεt xt+1=yt
Если предположить последовательную экзогенность, то , то есть термин ошибки, , в период не связан со всеми регрессорами в предыдущих периодах времени и текущим, то есть первым слагаемым выше, , исчезнет. Из вышесказанного ясно, что если у нас нет строгой экзогенности, ожидание . Однако должно быть ясно, что современная экзогенность, , имеет место.E[εt∣y1,y2,……,yt−1]=0 εt t ρE(εtyt−1) E[εtxt+1]=E[εtyt]≠0 E[εt|xt]
Теперь давайте посмотрим на смещение оценки OLS при оценке модели AR (1), указанной выше. Оценка OLS для , имеет вид:ρ ρ^
Затем возьмите условное ожидание для всех предыдущих, текущих и будущих значений: , :E[εt|y1,y2,,…,yT−1] Eq.(2)
Тем не менее, мы знаем из что , что означает, что и, следовательно, но смещено:Eq.(1) E[εtyt]=E(ε2t) [εt|y1,y2,,…,yT−1]≠0 1T∑Tt=1[εt∣∣y1,y2,,…,yT−1]yt−11T∑Tt=1y2t≠0 E[ρ^|y1,y2,,…,yT−1]≠ρ E[ρ^|y1,y2,,…,yT−1]=ρ+1T∑Tt=1[εt∣∣y1,y2,,…,yT−1]yt−11T∑Tt=1y2t=ρ+1T∑Tt=1E(ε2t)yt−11T∑Tt=1y2t= ρ+1T∑Tt=1σ2εyt−11T∑Tt=1y2t .
Все, что я предполагаю, чтобы показать непротиворечивость оценки OLS в модели AR (1), это одновременная экзогенность, что приводит к условию момента, с . Как и прежде, мы имеем, что оценка OLS для , задается как:E[εt|xt]=E[εt|yt−1]=0 E[εtxt]=0 xt=yt−1 ρ ρ^
Теперь предположим, что и является положительным и конечным, .plim1T∑Tt=1y2t=σ2y σ2y 0<σ2y<∞
Тогда, когда и пока действует закон больших чисел (LLN), мы имеем . Используя этот результат, мы имеем:T→∞ plim1T∑Tt=1εtyt−1=E[εtyt−1]=0
Тем самым было показано, что оценка OLS для , в модели AR (1) является предвзятой, но непротиворечивой. Обратите внимание, что этот результат справедлив для всех регрессий, в которых в качестве регрессора включена отстающая зависимая переменная.ρp ρ^
источник