Можем ли мы всегда переписать правильное перекошенное распределение в терминах композиции произвольного и симметричного распределения?

Рассмотрим дважды дифференцируемое и симметричное распределение . Теперь рассмотрим второе дважды дифференцируемое распределение перекосом в том смысле, что: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

где - выпуклый порядок van Zwet [0], так что эквивалентно: $\preceq_c$ $(1)$

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

Теперь рассмотрим третий дважды дифференцируемый дистрибутив удовлетворяющий: $\mathcal{F}_Y$

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

Мой вопрос: можем ли мы всегда найти распределение и симметричное распределение чтобы переписать любой (все три определены выше) в терминах композиции и как: $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

или нет?

Редактировать:

Например, если - это Вейбулл с параметром формы 3.602349 (чтобы он был симметричным), а - это распределение Вейбулла с параметром формы 3/2 (чтобы он был перекошен) я получил $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

установив в качестве распределения Вейбулла с параметром формы 2.324553. Обратите внимание, что все три распределения удовлетворяют: $\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ как требуется. Интересно, правда ли это вообще (при указанных условиях).

[0] van Zwet, WR (1979). Среднее значение, медиана, режим II (1979). Statistica Neerlandica. Том 33, выпуск 1, страницы 1--5.

distributions skewness user603
источник

Ответы:

Нет!

Простой контрпример приведен в распределении Tukey (особый случай для распределения Tukey и ). $g$ $h=0$ $g$ $h$

Например, пусть будет с параметром а будет с параметром и распределением Тьюки для которого . Поскольку , эти три распределения удовлетворяют: $\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

(первое из определений Тьюки которое симметрично, если , следующие из [0], теорема 2.1 (i)). $g$ $g=0$

Например, для имеем: $g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

(по какой-то причине, минимум, кажется, всегда около ). $g_Y\approx g_Z/2$

[0] HL MacGillivray Свойства формы семейств g-and-h и Johnson. Comm. Statist.The Theory Methods, 21 (5) (1992), pp. 1233–1250

Редактировать:

В случае с Вейбуллом претензия верна:

Пусть будет распределением Вейбулла с параметром формы (параметр масштаба не влияет на выпуклое упорядочение, поэтому мы можем установить его в 1 без потери общности). Аналогично, , и и . $\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

Прежде всего отметим, что любые три распределения Вейбулла всегда можно упорядочить в смысле [0].

Далее, обратите внимание, что:

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

Теперь для Вейбулла:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

так что

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

поскольку

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

Поэтому требование всегда можно удовлетворить, установив . $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[0] van Zwet, WR (1979). Среднее значение, медиана, режим II (1979). Statistica Neerlandica. Том 33, выпуск 1, страницы 1--5.
[1] Groeneveld, RA (1985). Асимметрия для семьи Вейбулла. Statistica Neerlandica. Том 40, выпуск 3, страницы 135–140.

user603
источник