Я хочу оценить среднее значение функции f, т.
где и - независимые случайные величины. У меня есть образцы f, но не iid: есть образцы для и для каждого есть выборки из :X Y Y 1 , Y 2 , … Y n Y i n i X X i , 1 , X i , 2 , … , X i , n i
EX,Y[f(X,Y)]
XYY1,Y2,…YnYiniXXi,1,Xi,2,…,Xi,ni
Таким образом, у меня есть выборкие( Х1 , 1, Y1) … Е( Х1 , н1, Y1) … Е( Хя , дж, Yя) … Е( Хн , нN, YN)
Чтобы оценить среднее значение, я вычисляю
Очевидно, так что является объективной оценкой. Теперь мне интересно, что такое , то есть дисперсия оценки. EX,Y[μ]=EX,Y[f(X,Y)]μVar(μ)
μ = ∑я = 1N1 / n ∗ ∑J = 1Nяе( Хя , дж, Yя)Nя
ЕИкс, Y[ μ ] = EИкс, Y[ ф( Х, Y) ]
μВa r ( μ )
Изменить 2: это правильная разница?
It кажется, работает в пределе, то есть, если n = 1 и все дисперсия просто становится дисперсией средних. И если формула становится стандартной формулой для дисперсии оценок. Это правильно? Как я могу доказать, что это так? ni=∞ni=1
Вa r ( μ ) = VгY( μя)N+ ∑я =1NВгИкс( ф(Х,Yя) ) )Nя*n2
Nя= ∞Nя= 1
Редактировать (игнорировать это):
Поэтому я думаю, что добился определенного прогресса: давайте сначала определим что является объективной оценкой . EX[f(X,Yi)]μя= ∑NяJ = 1е( Хя , дж, Yя)NяЕИкс[ ф( Х, Yя) ]
Используя стандартную формулу для дисперсии, мы можем написать:
Вa r ( μ ) = 1 / n2Σl = 1NΣк = 1NСo v ( μL, μК)
Это можно упростить до
и поскольку s нарисованы независимо, мы можем еще больше упростить это до
И для ковариации:
1 / n2( ∑я = 1NВa r ( μL) + 1 / n2Σl = 1NΣk = l + 1N2 ∗ Co v ( μL, μК) )
Икся ж1 / n2( ∑я = 1N1 / nяВa r ( f( Хя , дж, Yя) ) + 1 / n2Σl = 1NΣk = l + 1N2 ∗ Co v ( μL, μК) )
Сo v ( μL, μК)= Co v ( ∑J = 1NLе( Хj , l, YL)NL, ΣJ = 1NКе( ХJ , K, YК)NК)= 1( нК∗ nL)* Co v ( ∑J = 1NLе( Хj , l, YL) , ∑J = 1NКе( ХJ , K, YК) )= 1( нК∗ nL)∗ ∑J = 1NLΣJ = 1NКСo v ( f( Х, YL) , ф( Х, YК) )= пК∗ nL( нК∗ nL)Сo v ( f( Хя , л, YL) , ф( Хя , к, YК) )= Co v ( f( Х, YL) , ф( Х, YК) )
Таким образом это обратно, мы получим
меня есть несколько вопросов сейчас:
1 / n2( ∑я = 1N1 / nяВa r ( f( Х, Yя) ) + 1 / n2Σl = 1NΣk = l + 1N2 ∗ Co v ( f( Х, YL) , ф( Х, YК) ) )
Является ли приведенный выше расчет правильным?
Как я могу оценить из данных образцов?Сo v ( f( Х, YL) , ф( Х, YК) ) )
Сходится ли дисперсия к 0, если я позволю n перейти в бесконечность?