Какова дисперсия этой оценки

10

Я хочу оценить среднее значение функции f, т. где и - независимые случайные величины. У меня есть образцы f, но не iid: есть образцы для и для каждого есть выборки из :X Y Y 1 , Y 2 , Y n Y i n i X X i , 1 , X i , 2 , , X i , n i

EX,Y[f(X,Y)]
XYY1,Y2,YnYiniXXi,1,Xi,2,,Xi,ni

Таким образом, у меня есть выборкиf(X1,1,Y1)f(X1,n1,Y1)f(Xi,j,Yi)f(Xn,nn,Yn)

Чтобы оценить среднее значение, я вычисляю Очевидно, так что является объективной оценкой. Теперь мне интересно, что такое , то есть дисперсия оценки. EX,Y[μ]=EX,Y[f(X,Y)]μVar(μ)

μ=i=1n1/nj=1nif(Xi,j,Yi)ni
EX,Y[μ]=EX,Y[f(X,Y)]
μVar(μ)

Изменить 2: это правильная разница? It кажется, работает в пределе, то есть, если n = 1 и все дисперсия просто становится дисперсией средних. И если формула становится стандартной формулой для дисперсии оценок. Это правильно? Как я могу доказать, что это так? ni=ni=1

Var(μ)=VarY(μi)n+i=1nVarX(f(X,Yi)))nin2
ni=ni=1

Редактировать (игнорировать это):

Поэтому я думаю, что добился определенного прогресса: давайте сначала определим что является объективной оценкой . EX[f(X,Yi)]μi=j=1nif(Xi,j,Yi)niЕИкс[е(Икс,Yя)]

Используя стандартную формулу для дисперсии, мы можем написать:

Вaр(μ)знак равно1/N2ΣLзнак равно1NΣКзнак равно1NСоv(μL,μК)
Это можно упростить до и поскольку s нарисованы независимо, мы можем еще больше упростить это до И для ковариации:
1/N2(Σязнак равно1NВaр(μL)+1/N2ΣLзнак равно1NΣКзнак равноL+1N2*Соv(μL,μК))
ИксяJ
1/N2(Σязнак равно1N1/NяВaр(е(Икся,J,Yя))+1/N2ΣLзнак равно1NΣКзнак равноL+1N2*Соv(μL,μК))
Соv(μL,μК)знак равноСоv(ΣJзнак равно1NLе(ИксJ,L,YL)NL,ΣJзнак равно1NКе(ИксJ,К,YК)NК)знак равно1(NК*NL)*Соv(ΣJзнак равно1NLе(ИксJ,L,YL),ΣJзнак равно1NКе(ИксJ,К,YК))знак равно1(NК*NL)*ΣJзнак равно1NLΣJзнак равно1NКСоv(е(Икс,YL),е(Икс,YК))знак равноNК*NL(NК*NL)Соv(е(Икся,L,YL),е(Икся,К,YК))знак равноСоv(е(Икс,YL),е(Икс,YК))
Таким образом это обратно, мы получим меня есть несколько вопросов сейчас:
1/N2(Σязнак равно1N1/NяВaр(е(Икс,Yя))+1/N2ΣLзнак равно1NΣКзнак равноL+1N2*Соv(е(Икс,YL),е(Икс,YК)))
  1. Является ли приведенный выше расчет правильным?

  2. Как я могу оценить из данных образцов?Соv(е(Икс,YL),е(Икс,YК)))

  3. Сходится ли дисперсия к 0, если я позволю n перейти в бесконечность?

Бенедикт Бюнц
источник

Ответы:

2

Q1: нет, это не совсем правильно. Вы опускаете подписки в строке 3 вашего окончательного вывода ковариации. Это скрывает тот факт, что два RV, помеченные «X», на самом деле не зависят друг от друга: у одного был индекс а у другого a . Во всем этом блоке равенств единственные ненулевые члены должны быть, когда , потому что функции независимых входов независимы. (Я полагаю, что вы можете сказать, что не зависит от даже если это не следует, строго говоря, из парных требований независимости между всеми и ).ККзнак равноИкс12,Y1Икс22,Y2ИксY

Q2: сверху этот термин отличен от нуля только тогда, когда , и в этом случае он сводится к . Результат после суммы - .Кзнак равноСоv(е(ИксJК,YК),е(ИксJК,YК))знак равноВaр(е(ИксJК,YК))Соv(μК,μК)знак равно1NКВaр(е(ИксJК,YК))

Q3: Да: после этих модификаций у вас будет только линейное число слагаемых в самой последней сумме, поэтому выиграет квадратичный слагаемый.

eric_kernfeld
источник
Ответ на вопрос «Сходится ли дисперсия к 0, если я позволю n перейти в бесконечность?» Да".
eric_kernfeld