Джефрис Приор для нормального распределения с неизвестным средним и дисперсией

Я читаю о предыдущих распределениях и вычислял Джеффриса для выборки нормально распределенных случайных величин с неизвестным средним и неизвестной дисперсией. Согласно моим расчетам, для Джеффриса справедливо следующее: Здесь - информационная матрица Фишера.

p (μ, σ^{2}) = \sqrt{d e t (I)} = \sqrt{d e t (\begin{matrix} 1 / σ^{2} & 0 \\ 0 & 1 / (2 σ^{4}) \end{matrix})} = \sqrt{\frac{1}{2 σ^{6}}} \propto \frac{1}{σ^{3}} .

$p(\mu,\sigma^2)=\sqrt{det(I)}=\sqrt{det\begin{pmatrix}1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}}=\sqrt{\frac{1}{2\sigma^6}}\propto\frac{1}{\sigma^3}.$

I

$I$

Тем не менее, я также читал публикации и документы, в которых говорится

$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2$ см. раздел 2.2 в Kass and Wassermann (1996) .
$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^4$ см. стр. 25 в Yang and Berger (1998)

как прежде Джеффриса для случая нормального распределения с неизвестным средним и дисперсией. Что такое «настоящий» Джеффри до?

bayesian normal-distribution prior jeffreys-prior Nussig
источник

Ответы:

Я думаю, что расхождение объясняется тем, рассматривают ли авторы плотность по или плотность по . В поддержку этой интерпретации, точную вещь, которую пишут Касс и Вассерманн, это а Ян и Бергер пишут $\sigma$ $\sigma^2$

π (μ, σ) = 1 / σ^{2},

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma^2,$

π (μ, σ^{2}) знак равно 1 / σ^{4},

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4.$

А. Донда
источник

Спасибо, я упустил это. Однако это все еще не объясняет расхождения между

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ^{4}

$1/\sigma^4$

Нуссиг

π (μ, σ) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma)=1/\sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2)=1/\sigma^3$

π (μ, σ) знак равно π (μ, σ^{2}) d е T (J_{е}) α \frac{1}{σ^{3}} 2 σ α \frac{1}{σ^{2}}

$\pi(\mu, \sigma)=\pi(\mu, \sigma^2)det(J_f)\propto \frac{1}{\sigma^3}2\sigma \propto \frac{1}{\sigma^2}$

J_{f}

$J_f$

f : (μ, σ) \to (μ, σ^{2})

$f: (\mu, \sigma)\to (\mu, \sigma^2)$

J_{е} знак равно (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 σ \end{matrix})

$J_f=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\sigma\end{pmatrix}$

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ

$1/\sigma$

π (μ, σ) = 1 / σ

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4$

Джим Бергер все еще активный ученый, поэтому, чтобы быть уверенным, вы можете проверить непосредственно с ним: stat.duke.edu/~berger

А. Донда

$\mu$ $\sigma^2$ $[\mu] \sim m$ $[\sigma^2] \sim m^2$ $\sigma$

π (μ, σ) ~ 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma) \sim 1/\sigma^{2}$

π (μ, σ^{2}) ~ 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2) \sim 1/\sigma^{3}$

Dr_Zaszuś
источник

σ^{3}

$\sigma^{3}$

$\frac{1}{\sigma^3}$ $\frac{1}{\sigma^2}$ $\log(\sigma)$

Йорн Бикклер
источник

\log (σ)

$\log(\sigma)$

χ^{2}

$\chi^2$

(μ, σ^{2}) | D ~ N χ^{- 1} (\bar{Икс}, N, N, \frac{1}{N} Σ ({Икс}_{я} - \bar{Икс})^{2}),

$(\mu,\sigma^2)|D \sim \mathcal{N}\chi^{-1}\left(\overline{X}, n,n, \frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\right).$

1 / σ^{2}

$1/\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2} (\bar{X}, n, n - 1, s^{2})

$\chi^2(\bar{X},n,n-1,s^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$