Что такое долгосрочная дисперсия?

Как определяется долгосрочная дисперсия в области анализа временных рядов?

Я понимаю, что это используется в том случае, если в данных есть корреляционная структура. Таким образом, наш стохастический процесс не будет семейством случайными переменными, а будет только идентично распределенным?$X_1, X_2 \dots$

Могу ли я иметь стандартную ссылку в качестве введения в концепцию и трудности, связанные с ее оценкой?

Это мера стандартной ошибки среднего значения выборки при последовательной зависимости.

Если является ковариационной стационарной с и (в настройках эта величина будет равна нулю!), Так что . Тогда где первое равенство является определением , то второй немного сложнее установить и третье следствие стационарности, откуда следует , что .$Y_t$$E(Y_t)=\mu$$Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$$\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

$$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$$ $\gamma_j=\gamma_{-j}$

Так что проблема действительно заключается в отсутствии независимости. Чтобы увидеть это более четко, запишите дисперсию среднего значения образца как

$$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$$

Проблема с оценкой долгосрочной дисперсии состоит в том, что мы, конечно, не наблюдаем все автоковариации с конечными данными. Ядро (в эконометрике, «Ньюи-Вест» или HAC оценки) используются для этой цели,

$$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$$ $k$ - это ядро ​​или весовая функция, - примеры автоковариаций. , кроме всего прочего, должно быть симметричным и иметь . - это параметр полосы пропускания.$\hat\gamma_j$$k$$k(0)=1$$\ell_T$

Популярным ядром является ядро ​​Бартлетта Хорошие ссылки на учебники - Гамильтон, Анализ временных рядов или Фуллер . Оригинальная (но техническая) статья в журнале Newey and West, Econometrica 1987 .

$$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$$