Что такое долгосрочная дисперсия?

13

Как определяется долгосрочная дисперсия в области анализа временных рядов?

Я понимаю, что это используется в том случае, если в данных есть корреляционная структура. Таким образом, наш стохастический процесс не будет семейством случайными переменными, а будет только идентично распределенным?X1,X2

Могу ли я иметь стандартную ссылку в качестве введения в концепцию и трудности, связанные с ее оценкой?

Монолит
источник
связанные: stats.stackexchange.com/questions/154070/…
Тейлор

Ответы:

13

Это мера стандартной ошибки среднего значения выборки при последовательной зависимости.

Если является ковариационной стационарной с и (в настройках эта величина будет равна нулю!), Так что . Тогда где первое равенство является определением , то второй немного сложнее установить и третье следствие стационарности, откуда следует , что .YtE(Yt)=μCov(Yt,Ytj)=γjj=0|γj|<

limT{Var[T(Y¯Tμ)]}=limT{TE(Y¯Tμ)2}=j=γj=γ0+2j=1γj,
γj=γj

Так что проблема действительно заключается в отсутствии независимости. Чтобы увидеть это более четко, запишите дисперсию среднего значения образца как

E(Y¯Tμ)2=E[(1/T)t=1T(Ytμ)]2=1/T2E[{(Y1μ)+(Y2μ)++(YTμ)}{(Y1μ)+(Y2μ)++(YTμ)}]=1/T2{[γ0+γ1++γT1]+[γ1+γ0+γ1++γT2]++[γT1+γT2++γ1+γ0]}

Проблема с оценкой долгосрочной дисперсии состоит в том, что мы, конечно, не наблюдаем все автоковариации с конечными данными. Ядро (в эконометрике, «Ньюи-Вест» или HAC оценки) используются для этой цели,

JT^γ^0+2j=1T1k(jT)γ^j
k - это ядро ​​или весовая функция, - примеры автоковариаций. , кроме всего прочего, должно быть симметричным и иметь . - это параметр полосы пропускания.γ^jkk(0)=1T

Популярным ядром является ядро ​​Бартлетта Хорошие ссылки на учебники - Гамильтон, Анализ временных рядов или Фуллер . Оригинальная (но техническая) статья в журнале Newey and West, Econometrica 1987 .

k(jT)={(1jT)for0jT10forj>T1

Кристоф Ханк
источник
Спасибо! Я проверил анализ временных рядов Гамильтона. Фактически это говорит о том, что непараметрический способ оценки спектра состоит в том, чтобы взять средневзвешенное значение выборочных ковариаций, но он не углубляется в математику, стоящую за определением этого утверждения. Не могли бы вы предложить справочник или документ, который объясняет, почему это хорошая оценка, когда размер выборки увеличивается?
Монолит
хорошая точка зрения. Сделано некоторые правки
Кристоф Ханк
Возможно, стоит упомянуть, что второй («хитрый») шаг требует доминирующей конвергенции (см. Stats.stackexchange.com/questions/154070/… ).
Тамас Ференци
@ TamasFerenci, спасибо за указатель, я включил ссылку.
Кристоф Ханк
@ Кристоф Ханк, пожалуйста, спасибо за обновление!
Тамас Ференци