Линейная комбинация двух случайных ненормалей, которые все еще являются членами одной семьи

9

Хорошо известно, что линейная комбинация 2 случайных нормальных переменных также является случайной нормальной переменной. Существуют ли общие семейства ненормальных распределений (например, Вейбулла), которые также имеют это свойство? Кажется, есть много контрпримеров. Например, линейная комбинация униформ обычно не однородна. В частности, существуют ли ненормальные семейства распределения, в которых выполняются оба следующих условия:

  1. Линейная комбинация двух случайных величин из этого семейства эквивалентна некоторому распределению в этом семействе.
  2. Результирующий параметр (ы) может быть идентифицирован как функция исходных параметров и констант в линейной комбинации.

Я особенно заинтересован в этой линейной комбинации:

Y=X1w+X2(1w2)

где и X_2 выбираются из некоторого ненормального семейства с параметрами \ theta_1 и \ theta_2 , а Y происходит из того же ненормального семейства с параметром \ theta_Y = f (\ theta_1, \ theta_2, w) .X1X2θ1θ2YθY=f(θ1,θ2,w)

Я описываю семейство рассылки с 1 параметром для простоты, но я открыт для семейств рассылки с несколькими параметрами.

Кроме того, я ищу примеры, где есть много места для параметров и для работы в целях моделирования. Если вы можете найти только пример, который работает для некоторых очень специфических и , это было бы менее полезно.θ1θ2θ1θ2

Энтони
источник
1
Спасибо. Я действительно ищу общие ненормальные семьи (например, Вейбулла). Я также попытаюсь уточнить, что результирующий параметр (ы) должен быть функцией исходных параметров для широкого спектра исходных параметров. То есть должно быть достаточно места для параметров для работы в целях моделирования.
Энтони
4
Предполагая, что речь идет о произвольных линейных комбинациях независимых случайных величин, существуют устойчивые (Леви) распределения . Весь класс таких распределений полностью характеризуется их характерной функцией, принимающей определенный вид. Лишь немногие избранные имеют плотности с известными выражениями в замкнутой форме.
кардинал
2
Альфа-конюшни, упомянутые @cardinal, являются ответом, и, если я правильно понимаю, единственный ответ, если параметры должны быть местоположением и масштабом, но есть ли другие ответы, если параметры не должны быть местоположением + масштаб? (Хотя, возможно, это так далеко от того, чего хотел ОП, это должен быть отдельный вопрос).
Юхо Коккала
1
Я заинтересован в ответах, даже если параметры не местоположение и масштаб.
Энтони
2
@ Джухо, я думаю, что ответ в целом - да. Суммы распределений соответствуют (точечно) суммам производящих кумулянт функций (определенных как логарифм характеристической функции), поэтому замыкание набора распределений при суммировании естественно содержится в наборе всех распределений, которые являются (действительными) линейными комбинациями из этих CGF.
whuber

Ответы:

3

Хорошо известно, что линейная комбинация 2 случайных нормальных переменных также является случайной нормальной переменной. Существуют ли общие семейства ненормальных распределений (например, Вейбулла), которые также имеют это свойство?

Нормальное распределение удовлетворяет хорошей форме свертки: . Если вы ссылаетесь на центральную предельную теорему, то, например, те гамма-распределения с одним и тем же коэффициентом формы будут иметь это свойство и превращаться в гамма-распределения. Пожалуйста, ознакомьтесь с предостережением относительно использования центральной предельной теоремы . В общем, однако, с неравными коэффициентами формы, гамма-распределения "добавили бы" путем свертки, которая была бы не гамма-распределением, а гамма-функцией, умножающей гипергеометрическую функцию первого рода, как найдено в уравнении. (2) изX1N[μ1,σ12],X2N[μ2,σ22]X1+X2N[μ1+μ2,σ12+σ22]свертка двух гамма-распределений . Другое определение добавления, то есть формирование смеси распределения несвязанных процессов, не обязательно будет иметь какой-либо центральный предел, например, если средства различны.

Вероятно, есть и другие примеры, я не провел исчерпывающий поиск. Закрытие для свертки, похоже, не надумано. Для линейного сочетания продукт Пирсона VII с Пирсоном VII является еще одним Пирсоном VII .

деревенщина
источник
3
Вы можете добавить независимые случайные переменные гаммы с тем же параметром масштаба и получить другую гамму с тем же параметром масштаба, но вы не можете использовать произвольные линейные комбинации. Существует ряд хорошо известных распределений, для которых вы можете взять суммы, но не произвольные линейные комбинации, и остаться в этом семействе. (Здесь уже удален ответ, который делает ту же ошибку)
Glen_b
1
Это правда, что свертка двух гамма-распределений , см. Формулу. 2, дает нечто иное, чем гамма-распределение, если это то, что вы имеете в виду.
Карл
В статье четко говорится, что линейная комбинация гаммы не является гаммой (за исключением того же исключения, о котором я уже упоминал), и кажется полностью соответствующей тому, что я сказал. Я не уверен, о чем вы меня спрашиваете, но статья подтверждает мое утверждение о том, что ваш ответ, похоже, подтверждает что-то не так.
Glen_b
Не спрашивая, говоря, какая сумма в целом. Я изменил ответ, чтобы сказать «некоторые». Если это не достаточно хорошо, я удалю свою скромную попытку помочь. И что я спрашиваю: "Достаточно хорошо или нет?"
Карл
2
Теперь ответ немного легок. Возможно, вы захотите переместить некоторую информацию из вашего комментария в ответ (по крайней мере, информацию, относящуюся к тому, что было в статье, и ссылку на нее, хотя я бы включил соответствующую ссылку)
Glen_b -Reinstate Monica
2

Хорошо известно, что линейная комбинация 2 случайных нормальных переменных также является случайной нормальной переменной. Существуют ли общие семейства ненормальных распределений (например, Вейбулла), которые также имеют это свойство?

Похоже, вы ищете класс стабильных распределений Леви . Это класс всех распределений которые удовлетворяют свойству устойчивости:PPP

X1,X2,X3IID P(a)(b)(c>0)(d): aX1+bX2DistcX3+d.

Другими словами, для каждого распределения в этом классе, если вы берете линейную функцию двух независимых случайных величин с этим распределением, то это имеет то же распределение, что и аффинная функция одной случайной величины с этим распределением. (Обратите внимание, что это требование стабильности можно ужесточить, установив , что дает подкласс строго стабильных распределений.)d=0

Устойчивые по Леви распределения можно рассматривать как семейство распределений само по себе, и в этом смысле это единственное семейство распределений с этим свойством устойчивости, поскольку (по определению) оно охватывает все распределения с этим свойством. Нормальное распределение падает в классе распределений Леви-устойчивых, так же как и распределение Коши , то распределение Ландау , и распределение Хольцмарки .

Бен - Восстановить Монику
источник