ML оценка экспоненциального распределения (с цензурой данных)

В Survival Analysis вы предполагаете, что время выживания rv распределено экспоненциально. Учитывая теперь , что у меня есть х 1 , ... , х п «результаты» н.о.р. с.в. X я . Только некоторая часть этих результатов фактически «полностью реализована», то есть остальные наблюдения все еще «живы».$X_i$$x_1,\dots,x_n$$X_i$

Если бы я хотел выполнить оценку ML для параметра скорости распределения, как я могу использовать неосуществленные наблюдения согласованным / соответствующим образом? Я считаю, что они все еще содержат полезную информацию для оценки.$\lambda$

Может ли кто-нибудь направить меня к литературе по этой теме? Я уверен, что это существует. Однако у меня возникли проблемы с поиском хороших ключевых слов / поисковых терминов по теме.

Вы все еще можете оценить параметры, используя вероятность напрямую. Пусть наблюдения будут с экспоненциальным распределением со скоростью λ > 0 и неизвестным. Функция плотности имеет вид f ( x ; λ ) = λ e - λ x , кумулятивная функция распределения F ( x ; λ ) = 1 - e - λ x и функция хвоста G ( x ; $x_1, \dots, x_n$$\lambda>0$$f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$$F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$ . Предположим, что первые r наблюдений полностью наблюдаются, в то время как для x r + 1 , … , x n мы знаем только, что x j > t j для некоторых известных положительных постоянных t j . Как всегда, вероятность - это "вероятность наблюдаемых данных" для цензурированных наблюдений, которая определяется как P ( X j > t $G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$$r$$x_{r+1}, \dots, x_n$$x_j > t_j$$t_j$ , поэтому полная функция правдоподобия имеет вид L ( λ ) = r ∏ i = 1 f ( x i ; λ ) ⋅ n ∏ i = r + 1 G ( t j ; λ ) Логарифмическое правдоподобие функция становится l ( λ ) = r log λ - λ ( $P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$$ которая имеет ту же форму, что и логарифмическое правдоподобие для обычного, полностью наблюдаемого случая, за исключением первого члена r log λ вместо n log λ . Запись T для средних наблюдений и времени цензурирования, то оценке максимального правдоподобия Х становится λ = $$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$$ $r\log\lambda$$n\log\lambda$$T$$\lambda$ , который вы сами можете сравнить с полностью наблюдаемым случаем.$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$

 EDIT   

$r=0$

$$l(\lambda) = -nT \lambda$$ $\lambda$$\lambda=0$$\lambda$$\lambda$

Но, в любом случае, реальный вывод из данных в этом случае заключается в том, что мы должны ждать больше времени, пока не получим некоторые события ...

$\lambda$$e^{-\lambda n T}$$p^n$$p$$[\underset{\bar{}}{p}, 1]$$\lambda$$\log p = -\lambda T$

$p$

$$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$$ $n\log p \ge \log 0.95$$\lambda$ $$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$$