Примеры того, когда доверительный интервал и вероятный интервал совпадают

В статье в Википедии о Credible Interval говорится:

Для случая одного параметра и данных, которые могут быть сведены в одну достаточную статистику, можно показать, что вероятный интервал и доверительный интервал совпадут, если неизвестный параметр является параметром местоположения (т.е. функция прямой вероятности имеет вид Pr (x | μ) = f (x - μ)) с априором, который является равномерным плоским распределением; [5], а также, если неизвестный параметр является масштабным параметром (то есть прямая функция вероятности имеет вид Pr (x) | s) = f (x / s)), с предшествующим Джеффрисом [5] - последующим последующим, потому что при взятии логарифма такого масштабного параметра он превращается в параметр местоположения с равномерным распределением. Но это явно особые (хотя и важные) случаи; в общем, такая эквивалентность невозможна ».

Могут ли люди привести конкретные примеры этого? Когда 95% CI фактически соответствует «вероятности 95%», таким образом, «нарушая» общее определение CI?

нормальное распределение:

Возьмите нормальное распределение с известной дисперсией. Мы можем принять эту дисперсию равной 1, не теряя общности (просто разделив каждое наблюдение на квадратный корень из дисперсии). Это имеет распределение выборки:

$$p(X_{1}...X_{N}|\mu)=\left(2\pi\right)^{-\frac{N}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}(X_{i}-\mu)^{2}\right)=A\exp\left(-\frac{N}{2}(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$$

Где - это константа, которая зависит только от данных. Это показывает, что выборочное среднее является достаточной статистикой для среднего населения. Если мы используем равномерный априор, то апостериорное распределение для µ будет:$A$$\mu$

$$(\mu|X_{1}...X_{N})\sim Normal\left(\overline{X},\frac{1}{N}\right)\implies \left(\sqrt{N}(\mu-\overline{X})|X_{1}...X_{N}\right)\sim Normal(0,1)$$

Таким образом, вероятный интервал будет иметь вид:$1-\alpha$

$$\left(\overline{X}+\frac{1}{\sqrt{N}}L_{\alpha},\overline{X}+\frac{1}{\sqrt{N}}U_{\alpha}\right)$$

Где и U α выбираются так, чтобы стандартная нормальная случайная величина Z удовлетворяла:$L_{\alpha}$$U_{\alpha}$$Z$

$$Pr\left(L_{\alpha}<Z<U_{\alpha}\right)=1-\alpha$$

Теперь мы можем начать с этой «ключевой величины» для построения доверительного интервала. Распределение выборки при фиксированномцявляется стандартным нормальным распределением, таким образоммы можем подставить это в приведенном выше вероятность:$\sqrt{N}(\mu-\overline{X})$$\mu$

$$Pr\left(L_{\alpha}<\sqrt{N}(\mu-\overline{X})<U_{\alpha}\right)=1-\alpha$$

Затем переупорядочить, чтобы решить для , и доверительный интервал будет таким же, как доверительный интервал.$\mu$

Параметры шкалы:

Для параметров масштаба файлы pdf имеют вид . Мы можем взять(Xi|s)∼Uniform(0,s), что соответствуетf(t)=1. Совместное распределение выборки:$p(X_{i}|s)=\frac{1}{s}f\left(\frac{X_{i}}{s}\right)$$(X_{i}|s)\sim Uniform(0,s)$$f(t)=1$

$$p(X_{1}...X_{N}|s)=s^{-N}\;\;\;\;\;\;\;0<X_{1}...X_{N}<s$$

$X_{max}$

$$Pr(X_{max}<y|s)=Pr(X_{1}<y,X_{2}<y...X_{N}<y|s)=\left(\frac{y}{s}\right)^{N}$$

$y=qs$$Q=s^{-1}X_{max}$$Pr(Q<q)=q^{N}$$beta(N,1)$$L_{\alpha},U_{\alpha}$

$$Pr(L_{\alpha}<Q<U_{\alpha})=1-\alpha=U_{\alpha}^{N}-L_{\alpha}^{N}$$

И мы подставляем основное количество:

$$Pr(L_{\alpha}<s^{-1}X_{max}<U_{\alpha})=1-\alpha=Pr(X_{max}L_{\alpha}^{-1}>s>X_{max}U_{\alpha}^{-1})$$

И есть наш доверительный интервал. Для байесовского решения с джефри до этого имеем:

$$p(s|X_{1}...X_{N})=\frac{s^{-N-1}}{\int_{X_{max}}^{\infty}r^{-N-1}dr}=N (X_{max})^{N}s^{-N-1}$$ $$\implies Pr(s>t|X_{1}...X_{N})=N (X_{max})^{N}\int_{t}^{\infty}s^{-N-1}ds=\left(\frac{X_{max}}{t}\right)^{N}$$

Теперь мы подключаем доверительный интервал и рассчитываем его достоверность.

$$Pr(X_{max}L_{\alpha}^{-1}>s>X_{max}U_{\alpha}^{-1}|X_{1}...X_{N})=\left(\frac{X_{max}}{X_{max}U_{\alpha}^{-1}}\right)^{N}-\left(\frac{X_{max}}{X_{max}L_{\alpha}^{-1}}\right)^{N}$$

$$=U_{\alpha}^{N}-L_{\alpha}^{N}=Pr(L_{\alpha}<Q<U_{\alpha})$$

$1-\alpha$