Когда средняя статистика является достаточной статистикой?

21

Я натолкнулся на замечание в The Chemical Statistician, что выборочная медиана часто может быть выбором для достаточной статистики, но, помимо очевидного случая одного или двух наблюдений, когда он равен среднему значению выборки, я не могу думать о другой нетривиальной случай, когда выборка медиана достаточно.

Сиань
источник
1
Вы хотели написать «что образец медианы часто может быть»?
Юхо Коккала
8
Это интересный вопрос; двойная экспонента имеет медиану для оценки ML своего параметра местоположения, но этого недостаточно.
Glen_b

Ответы:

14

В случае, когда носитель распределения не зависит от неизвестного параметра θ, мы можем использовать теорему Питча-Купмана (Фреше-Дармуа-) , а именно, что плотность наблюдений обязательно имеет экспоненциальный вид семейства, чтобы сделать вывод, что, поскольку естественная достаточная статистика S = n i = 1 T ( x i ) также минимально достаточна, то медиана должна быть функцией S

ехр{θT(Икс)-ψ(θ)}час(Икс)
Sзнак равноΣязнак равно1NT(Икся)
S, что невозможно: изменение экстремума в наблюдениях , n > 2 изменяет S, но не изменяет медиану.Икс1,...,ИксNN>2S

е(Икс|θ)знак равночас(Икс)яAθ(Икс)τ(θ)
Aθе
Πязнак равно1NяAθ(Икся)
Πязнак равно1NяAθ(Икся)знак равнояВθN(мед(Икс1:N))
ИксN+1
яВθN+1(мед(Икс1:N+1))знак равнояВθN(мед(Икс1:N))×яAθ(ИксN+1)
Сиань
источник
ВθN
Это поддержка медианы.
Сиань