Процесс является строго стационарным , если совместное распределение X т 1 , Х т 2 , . , , , Х т т такое же , как совместное распределение X т 1 + K , X т 2 + к , . , , , X t m + k для всех m , для всех k и для всех t 1 , t 2 , .
Процесс является стационарным второго порядка, если его среднее значение является постоянным, а его функция автоковариации зависит только от запаздывания.
Следовательно, стационарные второго порядка подразумевают строгие стационарные?
Также при стационарном втором порядке говорится, что не делаются предположения о более высоких моментах, чем моменты первого и второго порядка. Первый момент соответствует среднему, соответствует ли второй момент автоковариации?
Ответы:
Стационарность второго порядка слабее, чем строгая стационарность. Стационарность второго порядка требует, чтобы моменты первого и второго порядка (среднее значение, дисперсия и ковариации) были постоянными во времени и, следовательно, не зависели от времени, в которое наблюдается процесс. В частности, как вы говорите, ковариация зависит только от порядка запаздывания , но не от времени, в которое она измеряется: C o v ( x t , x t - k ) = C o v ( x t + h). , х т + ч - к ) для всехk Cov(xt,xt−k)=Cov(xt+h,xt+h−k) .t
В строгом процессе стационарности, моменты всех порядков остаются постоянными в течение времени, то есть, как вы говорите, совместное распределение такое же , как совместное распределение X т 1 + K + Х т 2 + K + . , , + Х т т + к для всех т 1 , т 2 , . , ,Икст 1, Xт 2, . , , , Xт м Икст 1 + к+ Xт 2 + к+ . , , + Xт м + к и к .т 1 , т 2 , . , , , т м К
Следовательно, строгая стационарность предполагает стационарность второго порядка, но обратное неверно.
Изменить (отредактировано как ответ на комментарий @ whuber)
Предыдущее утверждение - общее понимание слабой и сильной стационарности. Хотя идея о том, что стационарность в слабом смысле не подразумевает стационарность в более сильном смысле, может совпадать с интуицией, это может быть не так просто для доказательства, как указано в комментарии ниже. Может быть полезно проиллюстрировать идею, предложенную в этом комментарии.
Как мы можем определить процесс, который является стационарным второго порядка (среднее значение, дисперсия и постоянная ковариации во времени), но не является строгим в строгом смысле (моменты более высокого порядка зависят от времени)?
По предложению @whuber (если я правильно понял) мы можем объединять партии наблюдений, поступающих из разных распределений. Нам просто нужно быть осторожными, чтобы эти распределения имели одинаковое среднее значение и дисперсию (на данный момент давайте рассмотрим, что они выбираются независимо друг от друга). С одной стороны, мы можем, например, генерировать наблюдения из распределения Стьюдента с 5 степенями свободы. Среднее равно нулю , а дисперсия 5 / ( 5 - 2 ) = 5 / 3 . С другой стороны, мы можем взять гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией 5 / 3 .T 5 5 / ( 5 - 2 ) = 5 / 3 5 / 3
Оба распределения одни и те же среднее значение (ноль) и дисперсию ( ). Таким образом, конкатенация случайных значений из этих распределений будет, по меньшей мере, стационарной второго порядка. Тем не менее, эксцесс в тех точках, которые определяются распределением Гаусса, будет равен 3 , а в те моменты времени, когда данные поступают из t- распределения Стьюдента, он будет равен 3 + 6 / ( 5 - 4 ) = 9 . Следовательно, данные, сгенерированные таким образом, не являются в строгом смысле стационарными, поскольку моменты четвертого порядка не являются постоянными.5 / 3 3 T 3 + 6 / ( 5 - 4 ) = 9
Ковариации также постоянны и равны нулю, так как мы рассматривали независимые наблюдения. Это может показаться тривиальным, поэтому мы можем создать некоторую зависимость среди наблюдений в соответствии со следующей моделью авторегрессии.
с ε т ~ { N ( 0 , σ 2 = 5 / 3 )
гарантирует, что стационарность второго порядка удовлетворяется.| ϕ | < 1
Мы можем смоделировать некоторые из этих рядов в программном обеспечении R и проверить, остаются ли средние значения выборки, дисперсии, ковариации первого порядка и эксцесса постоянными в партиях из наблюдений (в приведенном ниже коде используется ϕ = 0,8 и размер выборки n = 240 , на рисунке показано один из смоделированных рядов):20 ϕ = 0,8 n = 240
Результаты не те, что я ожидал:
источник
R
n <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)
Поскольку я не могу комментировать, и у меня есть достойное предостережение относительно ответа @javlacalle , я вынужден включить в него отдельный ответ:
@javlacalle написал это
Однако сильная стационарность не означает слабой стационарности. Причина в том, что сильная стационарность не означает, что процесс обязательно имеет конечный второй момент. Например, процесс iid со стандартным распределением Коши строго стационарен, но не имеет конечного второго момента. Действительно, наличие конечного второго момента является необходимым и достаточным условием слабой стационарности сильно стационарного процесса.
Ссылка: Майерс, DE, 1989. Быть или не быть. , , стационарные? Вот в чем вопрос. Математика Геол. 21, 347–362.
источник