Ковариантность случайного вектора после линейного преобразования

20

Если - случайный вектор, а - фиксированная матрица, кто-то может объяснить, почему A c o v [ A Z ] = A c o v [ Z ] A .ZA

соv[AZ]знак равноAсоv[Z]A,
user92612
источник

Ответы:

26

Для случайного (столбцового) вектора со средним вектором ковариационная матрица определяется как . Таким образом, ковариационная матрица , средний вектор которой , задается как m = E [ Z ] cov ( Z ) = E [ ( Z - m ) ( Z - m ) T ] A Z A m cov ( A Z )Zмзнак равноЕ[Z]сОУ(Z)знак равноЕ[(Z-м)(Z-м)Т]AZAм

сОУ(AZ)знак равноЕ[(AZ-Aм)(AZ-Aм)Т]знак равноЕ[A(Z-м)(Z-м)ТAТ]знак равноAЕ[(Z-м)(Z-м)Т]AТзнак равноAсОУ(Z)AТ,
Дилип Сарватэ
источник
1
Я исправил свою опечатку. Спасибо за указание на мою ошибку.
user92612
4

Я хотел бы добавить к ответу Дилипа Сарвейта, что тот же результат имеет место и для преобразования вида : ZAТ

соv(ZAТ)знак равноAсоv(Z)AТ

Используя тот же подход:

соv(ZAТ)знак равноЕ[(ZAТ-мAТ)(ZAТ-мAТ)Т]знак равноЕ[(Z-м)AТA(Z-м)Т]знак равноЕ[A(Z-м)(Z-м)ТAТ]знак равноAЕ[(Z-м)(Z-м)Т]AТзнак равноAсоv(Z)AТ

Использование на шаге (3): A B T B A TAВТВAТзнак равноВAAТВТ

AВТВAТзнак равно((AВТВAТ)Т)Тзнак равно(ВAТAВТ)Тзнак равноВ(ВAТA)Тзнак равноВAAТВТ
Ян Кукацка
источник