Соответствует ли каждая полуположительная определенная матрица ковариационной матрице?

Судя по определениям PD и PSD здесь , да, я так думаю, так как мы можем сделать это путем строительства. Я предположу для немного более простого аргумента, что вы имеете в виду для матриц с реальными элементами, но с соответствующими изменениями это будет распространяться на сложные матрицы.

Пусть некоторая вещественная PSD-матрица; из определения, с которым я связан, оно будет симметричным. Любая реальная симметричная положительно определенная матрица может быть записано в виде . Это можно сделать с помощью $A$ $A$ $A = LL^T$ еслис ортогональнойи диагональюикачестве матрицы компонентов мудрых квадратных корней. Таким образом, это не должно быть полный ранг. $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ $\sqrt{D}$ $D$

Пусть - некоторая векторная случайная величина соответствующего размера с ковариационной матрицей (которую легко создать). $Z$ $I$

Тогда имеет ковариационная матрица . $LZ$ $A$

[По крайней мере, это в теории. На практике, если вы хотите хороших результатов, вам придется решать различные числовые проблемы и - из-за обычных проблем с вычислением с плавающей запятой - вы получите только приблизительно то, что вам нужно; то есть, дисперсия популяции вычисленного , как правило , не будет точно . Но такого рода вещи всегда являются проблемой, когда мы на самом деле рассчитываем вещи.] $LZ$ $A$

Glen_b - Восстановить Монику
источник

Хотя это правда , что разложение

можно без полного ранга, алгоритм Cholesky работает только с регулярным

. Так что без полного ранга это не может быть разложение Холецкого. В вычислительном отношении это можно сделать в единственном случае путем диагонализации. (Хотя это намного дороже)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

Хорст Грюнбуш

@ Хорст: Зачем

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

@amoeba Хотя это можно организовать так, чтобы аргумент работал, он не должен быть треугольником снизу - это особенность Холецкого, но он не обязателен для работы результата.

Glen_b

@Glen Является ли симметрия необходимым условием для PSD или это определение одно из многих?

114

@ 114 для связи между симметричным и PSD см. Math.stackexchange.com/questions/516533/…

Фрэнк

Соответствует ли каждая полуположительная определенная матрица ковариационной матрице?

Ответы: