Формула размера выборки для F-теста?

Мне интересно, есть ли формула размера выборки, такая как формула Лера, которая применима к F-тесту? Формула Лера для t-тестов имеет вид , где Δ - величина эффекта ( например, Δ = ( μ 1 - μ 2 ) / σ ). Это может быть обобщена на п = с / Δ 2 , где с является константой , которая зависит от скорости I типа, требуемой мощности, и выполняет ли один односторонний или двусторонний тест.$n = 16 / \Delta^2$$\Delta$ $\Delta = (\mu_1 - \mu_2) / \sigma$$n = c / \Delta^2$$c$

Я ищу похожую формулу для F-теста. Моя тестовая статистика, согласно альтернативе, распределяется как нецентральный F с степенями свободы и параметром нецентральности n λ , где λ зависит только от параметров совокупности, которые неизвестны, но могут принимать некоторое значение. Параметр k устанавливается экспериментом, а n - размер выборки. В идеале я ищу (желательно хорошо известную) формулу вида n = $k,n$$n \lambda$$\lambda$$k$$n$ гдеcзависит только от скорости I типа и мощности.

$$n = \frac{c}{g(k,\lambda)}$$ $c$

Размер выборки должен удовлетворять где F ( x ; k , n , δ ) - CDF не- центральный F с k , n dof и параметром нецентральности δ , а α , β - скорости типа I и типа II. Мы можем предположить

$$F(F^{-1}(1-\alpha;k,n,0);k,n,n\lambda) = \beta,$$ $F(x;k,n,\delta)$$k,n$$\delta$$\alpha, \beta$ ,то есть n должно быть «достаточно большим».$k \ll n$ $n$

Мои попытки возиться с этим в R не были плодотворными. Я видел предложил, но припадки не очень хорошо смотрелись.$g(k,\lambda) = \lambda / \sqrt{k+1}$

редактировать: первоначально я смутно утверждал, что нецентральный параметр «зависит» от размера выборки. После второго размышления я нашел это слишком запутанным, поэтому прояснил отношения.

Кроме того, я могу точно вычислить значение , решив неявное уравнение через искатель корней ( например , метод Брента). Я ищу уравнение, чтобы руководствоваться своей интуицией и использовать его как правило.$n$

Мне интересно, есть ли формула размера выборки, такая как формула Лера, которая применима к F-тесту?

Веб-страница « Электроинструменты для эпидемиологов » объясняет:

• Разница между двумя средними (лер):

  Например, вы хотите продемонстрировать разницу в 10 баллов по IQ между двумя группами, одна из которых подвергается воздействию потенциального токсина, а другая - нет. Используя средний популяционный IQ 100 и стандартное отклонение 20:

  $$n_{group}=\frac {16}{(100−90/20)^2}$$

  $$n_{group}=\frac{16}{(.5)^2}=64$$

• Процентное изменение в средствах

  Клиническим исследователям может быть более удобно думать с точки зрения процентных изменений, а не различий в средствах и вариабельности. Например, кого-то может заинтересовать разница в 20% между двумя группами в данных с изменчивостью около 30%. Профессор ван Белль представляет аккуратный подход к этим видам чисел, который использует коэффициент вариации (cv) 4 и переводит процентное изменение в соотношение средних.

  Дисперсия в логарифмической шкале (см. Главу 5 в van Belle) приблизительно равна коэффициенту вариации в исходной шкале, поэтому формулу Лера можно перевести в версию, в которой используется cv

  $$n_{group}=\frac{16(c.v.)^2}{(ln(μ_0)−ln(μ_1))^2}$$

  Затем мы можем использовать процентное изменение как соотношение средств, где

  $$r.m.=\frac{μ_0−μ_1}{μ0}=1−\frac{μ_1}{μ_0}$$

  сформулировать эмпирическое правило:

  $$n_{group}=\frac{16 (c.v.)^2}{(ln(r.m.))^2}$$

  В приведенном выше примере изменение на 20% означает среднее значение 1 - .20 = .80. (Изменение на 5% приведет к соотношению средних значений 1 -0,05 .95; изменение на 35% 1 -35 = 0,65 и т. Д.) Итак, размер выборки для исследования, стремящегося продемонстрировать Изменение средств на 20% с данными, которые варьируются примерно на 30%,

  $$n_{group}=\frac{16(.3)^2}{(ln(.8))^2}=29$$

An R function based on this rule would be:

1   nPC<-function(cv, pc){
2       x<-16*(cv)^2/((log((1-pc)))^2)
3       print(x)
4   }

Say you were interested in a 15% change from one group to another, but were uncertain about how the data varied. You could look at a range of values for the coefficient of variation:

1   a<-c(.05,.10,.15,.20,.30,.40,.50,.75,1)
2   nPC(a,.15)

You could use this to graphically display your results:

1   plot(a,nPC(a,.15),  ylab="Number in Each Group", 
2   xlab="By Varying Coefficent of Variation", 
3   main="Sample Size Estimate for a 15% Difference")

См. Также: iSixSigma « Как определить размер выборки » и RaoSoft « Онлайн-калькулятор размера выборки ».