Что мы можем сказать о средней численности населения из выборки 1?

Мне интересно, что мы можем сказать, если вообще что-нибудь, о значении населения, когда у меня есть только одно измерение, (размер выборки 1). Очевидно, мы хотели бы иметь больше измерений, но мы не можем их получить.y $\mu$$y_1$

Мне кажется, что поскольку среднее значение выборки, , тривиально равно , то . Однако при размере выборки 1 дисперсия выборки не определена, и поэтому наша уверенность в использовании в качестве оценки также не определена, верно? Будет ли какой-либо способ ограничить нашу оценку вообще? у1Е[ ˉ у ]=E[Y1]=ц ˉ у ц$\bar{y}$$y_1$$E[\bar{y}]=E[y_1]=\mu$$\bar{y}$$\mu$$\mu$

Вот совершенно новая статья по этому вопросу для случая Пуассона, в которой используется хороший педагогический подход:

Андерссон. Per Gösta (2015). Классный подход к построению приближенного доверительного интервала среднего Пуассона с использованием одного наблюдения. Американский статистик , 69 (3), 160-164, DOI: 10.1080 / 00031305.2015.1056830 .

Если известно, что популяция нормальная, 95% доверительный интервал, основанный на одном наблюдении , определяется какх ± 9,68 | х $x$

Об этом говорится в статье «Эффективный доверительный интервал для среднего значения с образцами первого и второго размера», Wall, Boen и Tweedie, The American Statistician , May 2001, Vol. 55, № 2 . ( pdf )

Конечно, есть. Используйте байесовскую парадигму. Скорее всего, у вас есть хоть какое-то представление о том, что может быть, например, что физически он не может быть отрицательным или что он явно не может быть больше 100 (может быть, вы измеряете рост членов вашей местной футбольной команды в старшей школе). в ногах). Сделайте предварительное замечание об этом, обновите его с вашим одиноким наблюдением, и у вас получится замечательный апостериор.$\mu$

Небольшое упражнение на симуляцию, чтобы проиллюстрировать, работает ли ответ @soakley:

# Set the number of trials, M
M=10^6
# Set the true mean for each trial
mu=rep(0,M)
# Set the true standard deviation for each trial
sd=rep(1,M)
# Set counter to zero
count=0
for(i in 1:M){
 # Control the random number generation so that the experiment is replicable 
 set.seed(i)
 # Generate one draw of a normal random variable with a given mean and standard deviation
 x=rnorm(n=1,mean=mu[i],sd=sd[i])
 # Estimate the lower confidence bound for the population mean
 lower=x-9.68*abs(x)
 # Estimate the upper confidence bound for the population mean
 upper=x+9.68*abs(x)
 # If the true mean is within the confidence interval, count it in
 if( (lower<mu[i]) && (mu[i]<upper) ) count=count+1
}
# Obtain the percentage of cases when the true mean is within the confidence interval
count_pct=count/M
# Print the result
print(count_pct)
[1] 1

Из миллиона случайных испытаний доверительный интервал включает в себя истинное среднее значение в миллион раз, то есть всегда . Этого не должно быть, если доверительный интервал составлял 95% доверительный интервал.

Так что формула, похоже, не работает ... Или я допустил ошибку кодирования?

Редактировать: тот же эмпирический результат сохраняется при использовании ; однако для это - таким образом, довольно близко к 95% доверительному интервалу.0,950097 ≈ 0,95 ( μ , σ ) = ( 1000 , 1000 $(\mu, \sigma)=(1000,1)$
$0.950097 \approx 0.95$$(\mu, \sigma)=(1000,1000)$

См. Эдельман, Д. (1990) «Доверительный интервал для центра неизвестного унимодального распределения на основе размера выборки один» Американский статистик, том 44, № 4. В статье рассматриваются обычные и непараметрические случаи.