Стабильные распределения, которые можно умножить?

10

Стабильные распределения инвариантны относительно сверток. Какие подсемейства устойчивых распределений также замкнуты относительно умножения? В том смысле, что если f F и g F , то функция плотности вероятности произведения f g (с точностью до константы нормализации) также принадлежит F ?FfFgFfgF

Примечание: я существенно изменил содержание этого вопроса. Но идея по сути та же самая, и теперь она намного проще. У меня был только частичный ответ, поэтому я думаю, что все в порядке.

becko
источник
Если область ограничена, то среднее значение и дисперсия (в действительности, все моменты) должны быть конечными. Насколько вы уверены, что существуют какие-либо известные дистрибутивы, которые удовлетворяют всем условиям?
Glen_b
@Glen_b Если можно доказать, что не существует распределения со всеми этими условиями, я приму ответ с этим доказательством.
Беко
Что именно является «ограниченным» равномерным распределением в (5)? Это одно распределение (и если да, каковы его параметры), или это семейство однородных распределений (и если да, то какое это семейство)?
whuber
1
(1) Под «семейством» вы подразумеваете стабильные распределения ? (2a) Если это так, то, учитывая, что произведение гауссианов, очевидно, является еще одним гауссианом, вы сразу получите положительный ответ. (2b) Если нет, то существует множество ответов. Начнем с любого семейства непрерывных распределений с всюду положительной плотностью. Наименьшее семейство, содержащее F и замкнутое относительно перенормированных произведений функций плотности, выполняет свою работу. Вы можете вычислить их явно, когда F имеет только один элемент. FFF
whuber
1
@whuber Да, я имею в виду подсемейство стабильных дистрибутивов. Вы правы, гауссиан удовлетворяет моим критериям. Я действительно искал другие примеры, но я забыл упомянуть об этом. Существуют ли другие дистрибутивы, которые также соответствуют моим критериям? Я обновлю вопрос, спасибо, что помогли мне прояснить ситуацию.
becko

Ответы:

6

«Стабильное распределение» - это особый вид семейства распределений масштаба масштаба. Класс устойчивых распределений параметризовано двух действительных чисел, устойчивость и перекос & beta ; [ - 1 , 1 ] .α(0,2] β[1,1]

Результат цитируется в статье Википедии решает этот вопрос о закрытии по продуктам функций плотности. Когда - плотность устойчивого распределения с α < 2 , то асимптотическиfα<2

f(x)|x|(1+α)g(sgn(x),α,β)

для явно заданной функции , детали которой не имеют значения. (В частности, g будет отличен от нуля либо для всех положительных x, либо для всех отрицательных x, либо для обоих.) Следовательно, произведение любых двух таких плотностей будет асимптотически пропорционально | х | - 2 ( 1 + α ) хотя бы в одном хвосте. Поскольку 2 ( 1 + α ) 1 + α , это произведение (после перенормировки) не может соответствовать ни одному распределению в том же стабильном семействе.ggxx|x|2(1+α)2(1+α)1+α

(Действительно, из - за для любой возможной & alpha ; '( 0 , 2 ] , произведение любых три таких функций плотности не может быть даже функцией плотности любого распределения стабильного. Это разрушает любую надежду распространения идеи закрытия продукта с одного стабильного дистрибутива на набор стабильных дистрибутивов.)3(1+α)1+αα(0,2]

Единственная оставшаяся возможность - это . Это нормальные распределения с плотностями, пропорциональными exp ( - ( x - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ) для параметров местоположения и масштаба μ и σ . Нетрудно проверить, что произведение двух таких выражений имеет одинаковую форму (потому что сумма двух квадратичных форм в x является другой квадратичной формой в x ).α=2exp((xμ)2/(2σ2))μσxx

Таким образом, единственный ответ заключается в том, что семейство нормальных распределений является единственным стабильным распределением, замкнутым на произведение плотности.

Whuber
источник
2
Круто! Это хороший способ определить нормальное распределение как уникальный стабильный и закрытый по продуктам. Спасибо
becko
3

Я знаю, что это частичный ответ, и я не эксперт, но это может помочь: если один из двух унимодальных PDF-файлов является вогнутым, то их свертка является унимодальной. Благодаря Ибрагимову (1956) , благодаря этим заметкам . Очевидно, что если оба являются лог-вогнутыми, то свертка также является лог-вогнутой.

Что касается закрытия продукта, только «чистый» результат я знаю для распределения продукта является предельная теорема описано в этом math.se ответ .

Как насчет усеченной версии этих ? Ограниченное равномерное распределение является ограничивающим случаем его параметра формы, и, насколько мне известно, они унимодальные и лог-вогнутые, поэтому у них есть унимодальные, лог-вогнутые свертки. Я понятия не имею об их продуктах. Когда у меня будет больше времени на этой неделе, я смогу попытаться запустить некоторые симуляции, чтобы увидеть, получаю ли я вогнутые в лог продукты с усеченным распределением ошибок. Возможно, Говиндараджулу (1966) поможет.

Я не уверен, какова политика по кросспостингу, но похоже, что математика может помочь и вам. Из любопытства вы пытаетесь построить алгебраическую структуру из вероятностных распределений?

shadowtalker
источник
1
Политика кросспостинга содержится на самой первой странице справки. Там написано «пожалуйста, не кросспост». Мы должны выбрать один лучший сайт для нашего вопроса. Вопрос может быть перенесен в случае необходимости. Если часть вопроса лучше подходит для другого сайта, вопрос следует задавать как два отдельных вопроса (которые могут быть связаны).
Glen_b