Требуемые условия регулярности перечислены в большинстве промежуточных учебников и не отличаются от таковых в mle. Следующие из них относятся к случаю с одним параметром, но их расширение до многопараметрического варианта является простым.
Условие 1 : PDF-файлы различны, то есть& thetas ; ≠ & thetas ;'⇒ ф( хя; θ ) ≠ f( хя; θ')
Обратите внимание, что это условие по существу утверждает, что параметр идентифицирует PDF.
Условие 2: PDF-файлы имеют общую поддержку для всехθ
Это означает, что поддержка не зависит отθ
Условие 3 : точка , реальный параметр, который является внутренней точкой в некотором наборе Ωθ0Ω
Последнее касается возможности появления в конечных точках интервала.θ
Эти три в совокупности гарантируют, что вероятность максимизируется при истинном параметре а затем, что mle который решает уравнениеθθ0θ^
∂l(θ)∂θ=0
согласуется.
Условие 4 : pdf дважды дифференцируется как функция отθf(x;θ)θ
Условие 5 : интеграл можно дважды дифференцировать под знаком интеграла как функцию отthetas ;∫∞−∞f(x;θ) dxθ
Нам нужны последние два, чтобы получить информацию о Фишере, которая играет центральную роль в теории сходимости mle.
Для некоторых авторов этого достаточно, но если мы хотим быть тщательными, нам дополнительно необходимо заключительное условие, которое обеспечивает асимптотическую нормальность mle.
Условие 6 : pdf дифференцируется в три раза как функция от . Кроме того, для всех существуют константа и функция такие чтоf(x;θ)θθ∈ΩcM(x)
∣∣∣∂3logf(x;θ)∂θ3∣∣∣≤M(x)
с для всех и всех в поддержкеEθ0[M(X)]<∞|θ−θ0|<cxX
По существу, последнее условие позволяет нам сделать вывод, что остаток от разложения Тейлора второго порядка относительно ограничен по вероятности и, таким образом, не создает проблемы асимптотически.θ0
Это то, что вы имели в виду?