В чем разница между вейвлет-преобразованием Габора-Морле и преобразованием постоянной Q?

На первый взгляд, преобразование Фурье с постоянным Q и комплексное вейвлет- преобразование Габора-Морле кажутся одинаковыми. Оба являются частотно-временными представлениями, основанными на фильтрах с постоянными Q, оконными синусоидами и т. Д. Но, может быть, я пропускаю разницу?

Constant-Q Transform Toolbox для обработки музыки говорит:

CQT относится к частотно-временному представлению, в котором частотные элементы имеют геометрическое разнесение, а добротность (отношение центральных частот к ширине полосы) всех элементов одинакова.

Временной анализ говорит:

То есть, вычисления НВП сигнала с использованием вейвлет Морле является такой же , как прохождение сигнала через ряд полосовых фильтров с центром в точке $f = \frac{5/2\pi}{a}$с постоянной добротностью$5/2\pi$.

Проще говоря, и const-Q-преобразование, и вейвлет-преобразование Габора-Морле - это просто непрерывные вейвлет-преобразования. Или, точнее, их приближения, поскольку в реальных приложениях всегда будут проблемы дискретизации.

Свойство вейвлет-преобразований заключается в том, что они имеют свойство постоянного Q-фактора или, другими словами, логарифмическое масштабирование. Gabor и Morlet - это всего лишь два имени конкретной вейвлет-функции (сложные экспоненты с гауссовым окном), которая используется чаще всего. CQ-преобразование просто использует другую базовую функцию / вейвлет и имеет специальное имя, прикрепленное к нему, возможно, по какой-то исторической причине.

Важно отметить, что различные разработанные вейвлеты предлагают разное разложение сигналов, которые они используют для изучения. Конкретные вейвлеты выбираются так, чтобы выявить специфические особенности сигнала определенным образом. Когда вы вычисляете коэффициенты вейвлета, вы выполняете корреляцию выбранного вейвлета с сигналом интереса; таким образом, форма вейвлета определяет форму обнаруженных особенностей сигнала.

Некоторые вейвлет-функции были «разработаны» для предоставления разложений, которые могут относиться к разложениям Фурье (на самом деле больше соответствуют краткосрочным разложениям Фурье, используемым для получения спектрограмм сигналов). Вейвлет Морле является хорошим примером такой вейвлет-функции. Другие вейвлеты были «разработаны» для выявления разрывов или краев сигналов. Я видел документы, которые используют функции Daubechies Wevelet для этого.

Может быть полезно провести некоторое исследование, чтобы увидеть, как каждая из упомянутых вами вейвлет-функций используется на практике. Я думаю, что это даст вам лучшее понимание того, как разные вейвлеты отличаются.

Постоянное Q-преобразование не является вейвлет-преобразованием. Постоянное Q-преобразование представляет собой конкретный вариант краткосрочного преобразования Фурье, в котором частотные бины экспоненциально разнесены, а не разнесены линейно, как в случае с дискретным преобразованием Фурье.

Смотрите: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform для деталей.

Некоторые вейвлет-преобразования также считаются постоянными Q-преобразованиями, потому что в дискретных версиях преобразований масштаб вейвлета изменяется экспоненциально (в данном случае основание равно 2). Согласно следующей статье из Стэнфордского университета ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Когда материнский вейвлет можно интерпретировать как оконную синусоиду (такую ​​как вейвлет Морле), вейвлет-преобразование можно интерпретировать как преобразование Фурье с постоянным Q.12.5. До теории вейвлетов, преобразования Фурье с постоянным Q (например, полученные из классический банк фильтров третьей октавы) было непросто инвертировать, поскольку базовые сигналы не были ортогональными. См. Приложение E для соответствующего обсуждения.