Переключение импульсной реакции в свертке

Во время свертки на сигнале, почему мы должны перевернуть импульсную реакцию во время процесса?

Адаптировано из ответа на другой вопрос (как упомянуто в комментарии) в надежде, что этот вопрос не будет неоднократно подниматься вики-сообществом как один из главных вопросов ....

Не происходит «переворачивания» импульсного отклика линейной (не зависящей от времени) системой. Выход линейной не зависящей от времени системы представляет собой сумму масштабированных и задержанных во времени версий импульсного отклика, а не «перевернутого» импульсного отклика.

Разобьем входной сигнал $x$ на сумму масштабированных единичных импульсных сигналов. Отклик системы на единичный импульсный сигнал $\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0, ~0, \cdots$ является импульсным откликом или импульсным откликом

$$h[0], ~h[1], \cdots, ~h[n], \cdots$$ и т. Д. свойство масштабирования единственного входного значения $x[0]$или, если вы предпочитаете $$x[0](\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~x[0], ~0, ~0, \cdots$$ создает ответ $$x[0]h[0], ~~x[0]h[1], \cdots, ~~x[0]h[n], \cdots$$

$x[1]$

$$x[1](\cdots, ~0, ~0, ~0, ~1,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~0, ~x[1], ~0, \cdots$$ $$0, x[1]h[0], ~~x[1]h[1], \cdots, ~~x[1]h[n-1], x[1]h[n] \cdots$$ $x[1]$ $$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} \text{time} \to & 0 &1 &2 & \cdots & n & n+1 & \cdots \\ \hline x[0] & x[0]h[0] &x[0]h[1] &x[0]h[2] & \cdots &x[0]h[n] & x[0]h[n+1] & \cdots\\ \hline x[1] & 0 & x[1]h[0] &x[1]h[1] & \cdots &x[1]h[n-1] & x[1]h[n] & \cdots\\ \hline x[2] & 0 & 0 &x[2]h[0] & \cdots &x[2]h[n-2] & x[2]h[n-1] & \cdots\\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ \hline x[m] & 0 &0 & 0 & \cdots & x[m]h[n-m] & x[m]h[n-m+1] & \cdots \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$$ $y$$x$

$n$

$n$

$$\begin{align*} y[n] &= x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + x[2]h[n-2] + \cdots + x[m]h[n-m] + \cdots\\ &= \sum_{m=0}^{\infty} x[m]h[n-m], \end{align*}$$ $$\begin{align*} y[n] &= x[n]h[0] + x[n-1]h[1] + x[n-2]h[2] + \cdots + x[0]h[n] + \cdots\\ &= \sum_{m=0}^{\infty} x[n-m]h[m], \end{align*}$$ $n$

Вот пример C / C ++, который показывает, что свертка может быть сделана без обратного импульсного отклика. Если вы проверяете convolve_scatter()функцию, ни одна переменная нигде не отменяется. Это свертка рассеяния, при которой каждая входная выборка разбрасывается (суммируется) на несколько выходных выборок в памяти, используя веса, заданные импульсной характеристикой. Это расточительно, потому что выходные образцы нужно будет прочитать и записать несколько раз.

Обычно свертка делается как сборка свертки, как в convolve_gather(). В этом методе каждая выходная выборка формируется отдельно путем сбора (суммирования) входных выборок с обратным импульсным откликом в качестве весов. Выходная выборка находится в регистре процессора, который используется в качестве аккумулятора, пока это делается. Обычно это метод выбора, потому что для каждой отфильтрованной выборки будет только одна запись в память. Теперь доступно больше операций чтения из памяти, но только столько, сколько было чтения из памяти в методе рассеяния.

#include <stdio.h>

const int Nx = 5; 
const int x[Nx] = {1, 0, 0, 0, 2};
const int Ny = 3; 
const int y[Ny] = {1, 2, 3};
const int Nz = Nx+Ny-1;
int z[Nz];

void convolve_scatter() { // z = x conv y
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    z[k] = 0;
  }
  for (int n = 0; n < Nx; n++) {
    for (int m = 0; m < Ny; m++) {
      z[n+m] += x[n]*y[m]; // No IR reversal
    }
  }
}

void convolve_gather() { // z = x conv y
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    int accu = 0;
    for (int m = 0; m < Ny; m++) {
      int n = k+m - Ny + 1;
      if (n >= 0 && n < Nx) {
        accu += x[n]*y[Ny-m-1]; // IR reversed here
      }
    }
    z[k] = accu;
  }
}

void print() {
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    printf("%d ", z[k]);
  }
  printf("\n");
}

int main() {
  convolve_scatter();
  print();
  convolve_gather();
  print();
}

Это свертывает последовательности:

1 0 0 0 2
1 2 3

и используя оба метода свертки:

1 2 3 0 2 4 6

Я не могу представить, чтобы кто-либо использовал метод рассеяния, если только фильтр не меняется во времени, и в этом случае два метода будут давать разные результаты, и один из них может быть более подходящим.

Это только «перевернуто» для точечных вычислений.

@Dilip объясняет, что представляет собой интеграл / суммирование свертки, но чтобы объяснить, почему одна из двух входных функций (часто h(t)) переключается для целей вычисления, рассмотрим систему с дискретным временем с входным x[n]и импульсным откликом h[n]:

• Вы можете взять свою входную функцию x[n]и для каждой ненулевой выборки * x[n]рассчитать масштабированный импульсный отклик от выборки nи далее до тех пор, пока сдвиг по времени не h[n]уменьшится до нуля (предполагая причинность h[n]). Это не будет включать в себя не «листать» (точнее «обращения времени») : либо x[n]или h[n]. Тем не менее, в конце вы должны добавить / наложить все эти масштабированные + смещенные «эхо» импульсной характеристики для каждого ненулевого значения x[n].

• x[0]k

  $$\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]$$ h[n]x[n], который есть x[0]h[0]. Затем увеличение kна единицу сместится h[n]на один шаг вправо, так что h[n]вторая запись ( h[1]) с обращенной по времени теперь будет лежать поверх x[0], ожидая умножения. Это даст желаемый вклад x[0]h[1]во времени n=1, так же, как это было бы сделано в предыдущем методе.

---

x[n]

$$\forall x[n] = 0$$ h[n]y[n]

При индексе c [n] свертка a [n] и b [n] такова, что:

«c [n] является суммой всех произведений (a [k] b [m]), таких что m + k = n», поэтому m = n - k или k = n - m, что означает, что одна из последовательностей должен быть перевернут.

Теперь, почему свертка ведет себя так в первую очередь? Из-за его связи с умножением многочленов.

Умножение двух полиномов приводит к новому полиному с коэффициентами. Коэффициенты полинома произведения определяют операцию свертки. Теперь при обработке сигналов передаточные функции - преобразования Лапласа или z-преобразования - являются этими полиномами, причем каждый коэффициент соответствует разной временной задержке. Сопоставление коэффициентов произведения и мультипликатов приводит к тому, что «умножение в одном представлении соответствует свертке в преобразованном представлении».

Во время свертки не должно происходить никакого «переворота» импульсного отклика ...

Однако, если вы хотите предотвратить любое изменение фазы, вы можете свернуть сигнал с импульсным откликом, а затем обратить вспять импульсный отклик и повторно свернуть, чтобы отменить фазовые эффекты.

В автономной обработке вы можете так же легко повернуть сигнал после первой свертки, чтобы прийти к такому же выводу (как предлагают комментарии).

$$\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$ $$\iint\nolimits_{t_1+t_2 = t} f(t_1) \, g(t_2) \, dt_1\, dt_2$$ $f$$g$$t$

Теперь форма рукопожатия четко показывает симметрию, которая здесь задействована, и что никакого «переворачивания» не происходит. Однако преобразование этого в правильный одномерный интеграл требует превращения одного из двух аргументов в фактическую переменную интегрирования. Это либо так, либо нахождение жесткой симметричной формы, не связанной с маханием рукой. Последнее сложнее. По сути, вы должны вернуть нормализацию, создавая что-то (при использовании дельта-функции Дирака) как Если вы затем переставите одним способом, вы получите и из свойства просеивания оператора Дирака

$$\iint_{t_1,t_2} f(t_1)\,g(t_2)\,\delta(t-t_1-t_2)\,dt_1\,dt_2$$ $$\int_{t_1}f(t_1)\, dt_1\int_{t_2}g(t_2) \delta(t-t_1-t_2) \,dt_2$$ $$\int_{t_1}f(t_1)\,dt_1\,g(t-t_1)$$ который является оригинальным интегралом с небольшим переименованием.