В чем физический смысл свертки двух сигналов?

Если мы сворачиваем 2 сигнала, мы получаем третий сигнал. Что представляет собой этот третий сигнал по отношению к входным сигналам?

Нет особого «физического» значения для операции свертки. Основное использование свертки в технике заключается в описании результатов линейной, не зависящей от времени (LTI) системы. Поведение ввода-вывода системы LTI можно охарактеризовать через ее импульсную характеристику , а выход системы LTI для любого входного сигнала можно выразить как свертку входного сигнала с импульсной характеристикой системы.$x(t)$

А именно, если сигнал подается на систему LTI с импульсной характеристикой h ( t ) , то выходной сигнал имеет вид:$x(t)$$h(t)$

Как я уже сказал, физической интерпретации не так много, но вы можете качественно представить себе свертку как «размывание» энергии, присутствующей в , во времени каким-то образом, в зависимости от формы импульсного отклика h ( t). ) . На инженерном уровне (строгие математики не одобрили бы), вы можете получить некоторое представление, если присмотреться более подробно к структуре самого интеграта. Вы можете думать о выходе y ( t ) как о сумме бесконечного числа копий импульсной характеристики, каждая из которых сдвинута на немного различную задержку по времени ( τ ) и масштабируется в соответствии со значением входного сигнала при значении $x(t)$$h(t)$$y(t)$$\tau$$t$что соответствует задержке: .$x(\tau)$

Такая интерпретация аналогична принятию свертки в дискретном времени (обсуждаемой в ответе Атул Ингл) до предела бесконечно короткого периода выборки, который опять-таки не является полностью математически обоснованным, но обеспечивает достаточно интуитивно понятный способ визуализации действия для непрерывной системы.

Особенно полезное интуитивное объяснение, которое хорошо работает для дискретных сигналов, состоит в том, чтобы думать о свертке как о «взвешенной сумме эхо-сигналов» или «взвешенной сумме воспоминаний».

На мгновение предположим, что входной сигнал в дискретную систему LTI с передаточной функцией является дельта-импульсом δ ( n - k ) . Свертка у ( п $h(n)$$\delta(n-k)$ Это просто эхо (или память) передаточной функции с задержкой в ​​k единиц.

Теперь представьте произвольный входной сигнал как сумму взвешенных δ- функций. Тогда на выходе получается взвешенная сумма задержанных версий h (n).$x(n)$$\delta$

Например, если , то пишем x ( n ) = δ ( n ) + 2 δ ( n - 1 ) + 3 δ ( n - 2 ) .$x(n) = \{1, 2, 3\}$$x(n) = \delta(n) + 2 \delta(n-1) + 3 \delta(n-2)$

Система вывода представляет собой сумму эхо - сигналов , , ч ( п - 1 ) и ч ( п - 2 ) с соответствующими весами 1, 2 и 3, соответственно.$h(n)$$h(n-1)$$h(n-2)$

Таким образом, .$y(n) = h(n) + 2h(n-1)+3h(n-2)$

Хороший интуитивный способ понимания свертки - посмотреть на результат свертки с точечным источником.

Например, двумерная свертка точки с испорченной оптикой космического телескопа Хаббла создает это изображение:

Теперь представьте, что произойдет, если на картинке две (или более) звезды: вы получаете эту схему дважды (или более), центрируясь на каждой звезде. Яркость узора связана со светимостью звезды. (Обратите внимание, что звезда практически всегда является точечным источником.)

Эти шаблоны в основном представляют собой умножение точечного источника на извилистый шаблон, причем результат сохраняется в пикселе, так что он воспроизводит шаблон, когда полученное изображение просматривается полностью.

Мой личный способ визуализации алгоритма свертки - это цикл на каждом пикселе исходного изображения. Для каждого пикселя вы умножаете значение свернутого шаблона и сохраняете результат в пикселе, относительное положение которого соответствует шаблону. Сделайте это с каждым пикселем (и суммируйте результаты с каждым пикселем), и вы получите результат.

Подумайте об этом ... Представьте себе барабан, который вы постоянно бьете, чтобы услышать музыку, верно? Ваша барабанная палочка впервые упадет на мембрану из-за удара, который она будет вибрировать, когда вы ударяете ее во второй раз, вибрация от первого удара уже в некоторой степени ослабла. Поэтому любой звук, который вы услышите, - это текущее биение и сумма затухшей реакции предыдущих ударов. Таким образом, если - сила удара в k- й момент, то удар будет Force x Impact time$x(k)$$k$$x$

Который

$x(k)dk$

$dk$

$t$$t-k$$h(u)$$u$$t-k$$k$$h(t-k)$$x(k)dk$$x(k)h(t-k)dk$

Таким образом, общий эффект музыки, которую мы слышим, будет интегрированным эффектом всех воздействий. Это тоже от отрицательной бесконечности до плюс бесконечности. Который является тем, что известно как свертка.

Вы также можете думать о свертке как смазывание / сглаживание одного сигнала другим. Если у вас есть сигнал с импульсами и другой, скажем, один квадратный импульс, результатом будут размытые или сглаженные импульсы.

Другой пример - два квадратных импульса, свернутые в форме плоской трапеции.

Если вы делаете снимок с помощью камеры с расфокусированным объективом, в результате получается свертка сфокусированного изображения с функцией расфокусировки точек расфокусировки.

Распределение вероятностей суммы пары костей представляет собой свертку распределений вероятностей отдельных костей.

Длинное умножение - это свертка, если вы не переносите одну цифру на другую. И если вы переверните одно из чисел. {2, 3, 7} свернуто с {9, 4} является {8, 30, 55, 63}

      2   3   7
   X      4   9
---------------
     18  27  63 
  8  12  28
---------------
  8  30  55  63

(Вы можете закончить умножение, перенеся «6» из 63 в 55 и т. Д.)

В сигналах и системах свертка обычно используется с входным сигналом и импульсным откликом для получения выходного сигнала (третий сигнал). Легче видеть свертку как «взвешенную сумму прошлых входов», потому что прошлые сигналы также влияют на текущий выход.

Я не уверен, что это именно тот ответ, который вы искали, но недавно я снял на него видео, потому что оно беспокоило меня долгое время. https://www.youtube.com/watch?v=1Y8wHa3fCKs&t=14s Вот короткое видео. Пожалуйста, извините мой английский LOL.

Еще один способ взглянуть на свертку - учесть, что у вас есть две вещи:

• ДАННЫЕ - количество, безусловно, искаженное каким-либо шумом - и в случайных положениях (во времени, пространстве, назовите это)
• PATTERN = некоторые знания о том, как должна выглядеть информация

свертка ДАННЫХ с (зеркально симметричной) ШАБЛОНОМ - это еще одна величина, которая оценивает - зная ШАБЛОН - насколько вероятно, что он находится в каждой из позиций в ДАННЫХ.

Технически, в каждой позиции эта величина является корреляцией (это зеркало ШАБЛОНА) и, таким образом, измеряет логарифмическую вероятность при некоторых общих допущениях (независимый гауссов шум). Свертка позволяет вычислять ее в каждой позиции (в пространстве, времени ...) параллельно.

$g$$f$$g*f$

Физический смысл - это сигнал, проходящий через систему LTI! Свертка определяется как флип (один из сигналов), сдвиг, умножение и сумма. Я собираюсь объяснить свою интуицию о каждом.

1. Почему мы переворачиваем один из сигналов в свертке, что это значит?

Потому что последняя точка в представлении входного сигнала фактически является первой, которая входит в систему (обратите внимание на ось времени). Свертка определена для инвариантных систем с линейным таймером. Все это связано со временем и тем, как мы представляем его в математике. В свертке два сигнала, один представляет входной сигнал, а другой представляет отклик системы. Итак, первый вопрос здесь: что является сигналом системного ответа? Отклик системы - это выход системы в заданное время tна вход только с одним ненулевым элементом в заданное время t(импульсный сигнал, который сдвинут t).

2. Почему сигналы умножаются точка за точкой?

Опять же, давайте обратимся к определению сигнала реакции системы. Как уже было сказано, это сигнал, который формируется путем сдвига импульсной функции tи построения графика выхода для каждого из них t's. Мы также можем представить входной сигнал как сумму импульсных функций с разными амплитудами (масштабами) и фазами. Итак, отклик системы на входной сигнал в любой момент времени - это сам отклик сигнала, умноженный (или масштабированный) на амплитуду входа в данный момент времени.

3. Что означает сдвиг?

Сказав это (1 и 2), выполняется сдвиг, чтобы получить выход системы для любой точки входного сигнала за раз t.

Я надеюсь, что это поможет вам, ребята!

$x_1$$x_2$$x_2$$x_1$

Далее следует более длинный «системный взгляд»: подумайте об идеальном ( платонистском ) видении точки. Головка булавки, очень тонкая, где-то в пустом пространстве. Вы можете абстрагировать его как Дирак (дискретный или непрерывный).

Посмотрите на это издалека или, как близорукий человек (как и я), оно размыто. Теперь представьте, что точка тоже смотрит на вас. С точки зрения «точки зрения» вы тоже можете быть особенным. Точка также может быть близорукой, и среда между вами обоими (вы как особенность и точка) может быть непрозрачной.

Итак, свертка похожа на мост через неспокойную воду . Я никогда не думал, что смогу процитировать здесь Саймона и Гарфанкеля . Два явления пытаются овладеть друг другом. Результатом является размытие одного, размытое другим, симметрично. Пятна не должны быть одинаковыми. Ваше близорукое размытие равномерно сочетается с размытостью объекта. Симметрия такова, что если размытость объекта становится причиной ухудшения зрения, и наоборот, общее размытие остается тем же. Если один из них идеален, другой нетронут. Если вы видите отлично, вы видите точную размытость объекта. Если объект является идеальной точкой, человек получает точную меру вашей близорукости.

$\log$

Вы можете проверить, но почему? Интуитивная математика: свертка

То, как вы слышите звук в определенной среде (комнате, открытом пространстве и т. Д.), Представляет собой свертку аудиосигнала с импульсным откликом этой среды.

В этом случае импульсная характеристика представляет характеристики окружающей среды, такие как отражения звука, задержка и скорость звука, которая зависит от температуры.

Перефразировать ответы:

Для обработки сигналов это взвешенная сумма прошлого в настоящее. Обычно один термин представляет собой историю напряжений на входе в фильтр, а другой термин представляет собой фильтр или такой, который имеет «память». Конечно, при обработке видео все соседние пиксели занимают место «прошлого».

Для вероятности это перекрестная вероятность для события, заданного другими событиями; количество способов получить 7 в кости - это шанс получить: 6 и 1, 3 и 4, 2 и 5. то есть сумма вероятностей P (2), умноженная на вероятность P (7-2): P ( 7-2) Р (2) + Р (7-1) * Р (1) + .....

Свертка - это математический способ объединения двух сигналов для формирования третьего сигнала. Это один из самых важных методов в DSP ... почему? Потому что с помощью этой математической операции вы можете извлечь импульсную реакцию системы. Если вы не знаете, почему импульсный отклик системы важен, читайте об этом по адресу http://www.dspguide.com/ch6.htm . Используя стратегию импульсного разложения, системы описываются сигналом, называемым импульсным откликом. Свертка важна, потому что она связывает три представляющих интерес сигнала: входной сигнал, выходной сигнал и импульсную характеристику . Это формальная математическая операция, как умножение, сложение и интеграция. Сложение берет два числа и выдает третье числов то время как свертка принимает два сигнала и производит третий сигнал . В линейных системах свертка используется для описания взаимосвязи между тремя интересующими сигналами: входным сигналом, импульсным откликом и выходным сигналом (от Стивена В. Смита). Опять же, это тесно связано с концепцией импульсного отклика, о которой вам нужно прочитать.

Импульс вызывает выходную последовательность, которая фиксирует динамику системы (будущее). Перемещая этот импульсный отклик, мы используем его для вычисления выходных данных из взвешенной комбинации всех предыдущих входных значений. Это удивительная двойственность.

Проще говоря, это означает передачу входных данных из одного домена в другой домен, с которым нам легче работать. Конвуляция связана с преобразованием Лапласа, и иногда легче работать в области s, где мы можем сделать основные добавления к частотам. а также, поскольку преобразование Лапласа является функцией «один к одному», мы, скорее всего, не повредим ввод. Прежде чем пытаться понять, что означает общая физическая значимость теоремы конвульсии, мы должны начать с частотной области. сложение и скалярное умножение следует тому же правилу, что преобразование Лапласа является линейным оператором. c1.Lap (f (x) + c2.Lap g (x) = Lap (c1.f (x) + c2.g (x)). Но что такое Lap f (x) .Lap g (x). что определяет теорему конвульсии.