Как работает «область конвергенции»

Я новичок в DSP и у меня мало сомнений относительно -преобразования и его области конвергенции (ROC).$\mathcal Z$

Я знаю, что такое преобразование. Но у меня проблемы с пониманием РПЦ. Прежде всего, у меня путаница с и . Я легко пойман, обмениваясь этими условиями. Я знаю, что ROC определяет область, в которой существует -трансформация. Из Интернета и моих книг говорится, что: X ( z ) x ( z ) $\mathcal Z$$X(z)$$x(z)$$\mathcal Z$

Если - последовательность конечной продолжительности, то ROC - это вся плоскость, за исключением, возможно, или . Последовательность конечной длительности - это последовательность, отличная от нуля в конечном интервале$x[n]$$z$| z | = ∞ n 1 ≤ n ≤ n $z = 0$$\lvert z\rvert = \infty$$n_1 \le n \le n_2$

И позже это говорит:

Когда будет термин и поэтому ROC не будет включать . Когда тогда сумма будет бесконечной, и, таким образом, ROC не будет включать .z - 1 z = 0 n 1 < 0 | z | = $n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$$n_1 < 0$$\lvert z\rvert=\infty$

Вот где я застреваю! Что они пытаются сказать в приведенной выше строке: « Когда будет термин и, таким образом, ROC не будет включатьz - 1 z = $n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$ » Что они подразумевают под ? Подставляют ли они как , если да, то в каком уравнении?z$z=0$$z$$0$

Как рассчитать область сходимости для бесконечной последовательности?

Честно говоря, я думал, что теория, лежащая в основе Z-преобразования, была непрозрачной и в колледже. Оглядываясь назад, прохождение курса по комплексному анализу сделало бы это более ясным. И мне тоже не нравятся условные обозначения, которые, кажется, используются для этого материала. Строго говоря, обычное соглашение здесь таково, что

• $x[n]$ обозначает последовательность с дискретным временем
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • скобки обозначают дискретный аргумент
• $X(z)$ обозначает непрерывнозначную преобразованную функцию
  • $z\in\mathbb{C}$ (это комплексное число)
  • круглые скобки обозначают функцию, принимающую непрерывный параметр
  • заглавная буква обозначает преобразованную версию некоторой другой функции / последовательности (аналогичные обозначения используются для преобразований Фурье:$X$$x$$F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

Что они имеют в виду под z = 0? Подставляют ли они z как 0, если да, то в каком уравнении?

Они означают, просто вставьте в ваше обычное определение Z-преобразования.$z=0$

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

Обычно (точнее, когда для некоторого ), эта сумма будет расходиться (до бесконечности) для некоторого комплекса . Например, пусть и для и . Тогда . ROC не включает , дляn ≠ 0 z x [ 0 ] = 1 , x [ 1 ] = 1 x [ n ] = 0 n < 0 n > 1 X ( z ) = 1 + z - 1 z = 0 lim z → 0 X ( z ) = $x[n] \ne 0$$n \ne 0$$z$$x[0] = 1, x[1] = 1$$x[n]=0$$n<0$$n>1$$X(z) = 1 + z^{-1}$$z=0$$\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

Когда в вашем тексте написано: « Когда будет термин и, следовательно, ROC не будет включатьz - 1 z = $n_2>0$$z^{−1}$$z=0$ », что они подразумевают под этим, когда отлично от нуля для некоторого , для z-преобразования неизбежно включать член , который расходится к бесконечности при . Это все.n>0 z - n z=$x[n]$$n>0$$z^{-n}$$z=0$

Как рассчитать область сходимости для бесконечной последовательности?

Много математики. Ха!

Таким образом, способ сделать это состоит в том, чтобы получить алгебраическую формулировку для рассматриваемой последовательности, включить ее в определение Z-преобразования и использовать инструменты, доступные из анализа геометрических рядов (и сложных степенных рядов), чтобы определить, где этот Z -преобразование сходится / расходится. На практике определение того, сходится ли является наиболее важным вопросом, на который нужно ответить, потому что это определяет стабильность, и можете ли вы получить частотный отклик от системы и т. Д. Но причинность также может иметь значение, в зависимости от того, что вы делаешь.$|z|=1$