Ноль, Первый, Второй ... Удержание n-го порядка

9

Прямоугольная функция определяется как:

rect(t)={0if |t|>1212if |t|=121if |t|<12.

Треугольная функция определяется как:

tri(t)={1|t|,|t|<10,otherwise
он является сверткой двух одинаковых единичных прямоугольных функций:
tri(t)=rect(t)rect(t)=rect(τ)rect(tτ) dτ
Удержание нулевого порядка и удержание первого порядка используют эти функции. Фактически оно имеет:
xZOH(t)=n=x(n)rect(tn) 
для удержания нулевого порядка и
xFOH(t)=n=x(n)tri(tn) 
для удержания первого порядка. Посколькуtri(t)=rect(t)rect(t) , я хотел бы знать, является ли это простым совпадением или, если для удержания второго порядка импульсный отклик равен
tri(t)tri(t)=(rect(t)rect(t))(rect(t)rect(t)).
Верно ли это и для общегоk порядка? А именно, положите
xKTH(t)=n=x(n)gk(tn) 
гдеgk(tn) - импульсный откликудержанияkпорядка, я хотел бы знать, является ли его импульсный отклик
gk(tn)=(rect(t)rect(t))(rect(t)rect(t)),
к раз.
отметка
источник
я не видел ссылку для -го удержания порядка для к > 1 . я бы ожидал, что это будет функция rect ( t ), свернутая с самим собой k - 1 раз. но я не знаю, что это за определение. kk>1rect(t)k1
Роберт Бристоу-Джонсон
1
@ robertbristow-johnson: По аналогии с удержанием нулевого порядка (полиномиальная интерполяция нулевого порядка, т.е. кусочно-постоянная) и удержанием первого порядка (полиномиальная интерполяция первого порядка, т.е. кусочно-линейным), удержание n-го порядка является кусочной интерполяцией полиномом n-го порядка. Он упоминается здесь (стр. 6).
Мэтт Л.
1
Они и то, что @ robertbristow-johnson описывает в своем ответе ниже, называются B-сплайнами.
Олли Нимитало,
Может кто-нибудь показать с матрицей изображения с фактором 2, пожалуйста? И я совершенно не уверен в факторе здесь.
user30462

Ответы:

9

Это не вариант. Прежде всего, удержание второго порядка будет использовать три точки выборки для вычисления полинома интерполяции, но предлагаемый импульсный отклик не равен нулю в интервале размера 4 (при условии, что интервал выборки равен Т = 1 , как вы делаете в своем вопросе). Однако импульсная характеристика, соответствующая удержанию второго порядка, должна иметь опору длины 3 .tri(t)tri(t)4T=13

Теперь вы можете предположить, что удержание порядка может иметь импульсную характеристику, которая является сверткой n прямоугольных функций. В этом случае вы получите правильный размер поддержки, но, конечно, этого недостаточно.nthn

-порядка трюма вычисляет кусочно-интерполяцию с использованием п + 1 последовательных точек данных. Это аналогично удержанию нулевого порядка с использованием одной точки данных и удержанию первого порядка, в котором используются две точки данных. Это определение обычно используется в литературе (см., Например, здесь и здесь ).nthn+1

Нетрудно показать, что многочлен второго порядка, который интерполирует три точки данных , y [ 0 ] и y [ 1 ] , определяется какy[1]y[0]y[1]

(1)P(t)=y[1]t(t1)2+y[0](1t2)+y[1]t(t+1)2

Чтобы найти импульсную характеристику, достигающую интерполяции , мы должны приравнять ( 1 ) к выражению(1)(1)

(2)y[1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t1)

Если мы выберем поддержку импульсного отклика в качестве интервала [ - 1 , 2 ] , что эквивалентно выбору интервала интерполяции [ 0 , 1 ] , то уравнение ( 1 ) и ( 2 ) приведет к следующему импульсу ответ удержания второго порядка:h(t)[1,2][0,1](1)(2)

(3)h(t)={12(t+1)(t+2),1<t<01t2,0t112(t1)(t2),1<t<20,otherwise

(3)введите описание изображения здесь

Я оставляю это на ваше усмотрение, чтобы показать, что этот импульсный отклик не может быть получен путем свертывания трех прямоугольных функций друг с другом.

Мэтт Л.
источник
Мэтт, не могли бы вы дать ссылку для представления, что такое удержание 2-го порядка? я на 100% убежден, что сюжет ошибочен.
Роберт Бристоу-Джонсон
h(t)
P(1)=y[1]P(1)=y[1]
(t1)=2
6

nrect(tT/2T)n

x(t)x[n]x(nT)

x(t)=n=x[n] sinc(tnTT)

который является выходом идеального фильтра кирпичной стены с частотной характеристикой:

H(f)=rect(fT)={1|f|<12T0|f|>12T

когда управляется идеально выбранной функцией

xs(t)=x(t)n=δ(tnTT)=x(t)Tn=δ(tnT)=Tn=x(t)δ(tnT)=Tn=x(nT)δ(tnT)=Tn=x[n]δ(tnT)

поэтому, когда переходит в , получается . - фактор необходим для того , что коэффициент усиления в полосе пропускания фильтра реконструкции, представляет собой безразмерное или 0 дБ.xs(t)H(f)x(t)TH(f)1

это означает, что импульсный отклик этого идеального фильтра Brickwall является

h(t)=F1{H(f)}=1Tsinc(tT)

x(t)

x(t)=h(t)xs(t)

h(t)

x[n]

xDAC(t)=n=x[n] rect(tnTT2T)

и это может быть смоделировано как фильтр с импульсной характеристикой

hZOH(t)=1Trect(tT2T)

движимый тем же . такxs(t)

xDAC(t)=hZOH(t)xs(t)

и частотная характеристика фильтра подразумеваемой реконструкции

HZOH(f)=F1{hZOH(t)}=1ej2πfTj2πfT=ejπfTsinc(fT)

обратите внимание на постоянную задержку половины выборки в этой частотной характеристике. что, где удержание нулевого порядка приходит.

Таким образом, хотя ZOH имеет тот же коэффициент усиления постоянного тока, что и идеальная реконструкция кирпичной стены, но не такой же коэффициент усиления на других частотах. кроме того, изображения в не полностью разбиты, как это было бы с кирпичной стеной, но они немного побиты.xs(t)

так почему в POV временной области это? я думаю, что это из-за разрывов в . это не так плохо, как сумма импульсов Дирака в , но имеет скачкообразные разрывы.xDAC(t)xs(t)xDAC(t)

как избавиться от скачков? возможно превратить их в разрывы первой производной. и вы делаете это, используя интеграцию в непрерывной области времени. таким образом , удержание первого порядка - это то, где выход ЦАП проходит через интегратор с передаточной функцией но мы пытаемся отменить эффекты интегратора с помощью дифференциатора, выполненного в область дискретного времени. выход этого дифференциатора с дискретным временем равен или Z-преобразованию1j2πfTx[n]x[n1]X(z)z1X(z)=X(z)(1z1)

передаточная функция этого дифференциатора равна или, в непрерывной области Фурье, . это заставляет передаточную функцию первого порядка поддерживать функцию интегратора с непрерывным временем, дифференциатора с дискретным временем и ZOH ЦАП, умноженных вместе.(1z1)(1(ej2πfT)1)=1(ej2πfT)

HFOH(f)=F1{hFOH(t)}=(1ej2πfTj2πfT)2=ej2πfTsinc2(fT)

импульсный ответ этого

hFOH(t)=F{HFOH(f)}=(rect(tT2T))(rect(tT2T))=1Ttri(tTT)

теперь, продолжая это далее, трюм второго порядка будет иметь как непрерывный ноль, так и первые производные. он делает это, снова интегрируясь в область непрерывного времени и пытаясь компенсировать это в области дискретного времени с другим дифференциатором. это бросает в другом факторе что означает свертывание с другим .прямой ( t - T)ejπfTsinc(fT)rect(tT2T)

Роберт Бристоу-Джонсон
источник
Это в конечном итоге приведет к импульсной реакции Гаусса, и я не могу понять это интуитивно. Я твердо верю, что удержание n-го порядка - в полной аналогии с ZOH и FOH - полиномиальным интерполятором n-го порядка. Я разделяю эту точку зрения с несколькими другими авторами: например, с этими и с этим . Я не видел твоей интерпретации n-го ордена где-либо еще.
Мэтт Л.
очень длинный гауссов импульсный отклик удержания порядка будет состоять из смежных участков кусочно- многочленов порядка, объединенных таким образом, что все производные, вплоть до -й производной, будут непрерывными. и я думаю, что это причинно-следственная связь. Кстати, я еще не закончил ответ. Сорта помешался на этом, но я планирую связать все это вместе в конце концов. и я исправлю целую лота грамматикуn + 1 n ( n - 1 )nn+1n(n1)
Роберт Бристоу-Джонсон
2

Другой вопрос был отмечен как дубликат этого. Там также был задан вопрос о том, что такое полигональное удержание . Он и удержание многоугольника кажутся синонимами для линейной интерполяции, где «точки связаны», а не выход, похожий на пилу, как при прогнозирующем удержании первого порядка. Для соединения семплов с линиями необходимо заранее знать следующий семпл, чтобы линия могла быть направлена ​​в правильном направлении. В контексте систем управления в реальном времени, где выборки заранее неизвестны, это означает, что вывод должен быть задержан на один период выборки, чтобы линии могли подключаться к выборкам.

Полиномиальное удержание (не многоугольное удержание) включает в себя как удержание нулевого порядка, так и удержание первого порядка.

Олли Нимитало
источник