Ноль, Первый, Второй ... Удержание n-го порядка

9

Прямоугольная функция определяется как:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

Треугольная функция определяется как:

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$ он является сверткой двух одинаковых единичных прямоугольных функций:

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) d τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$ Удержание нулевого порядка и удержание первого порядка используют эти функции. Фактически оно имеет:

x_{Z O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r e c t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$ для удержания нулевого порядка и

x_{F O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r i (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$ для удержания первого порядка. Поскольку

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , я хотел бы знать, является ли это простым совпадением или, если для удержания второго порядка импульсный отклик равен

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$ Верно ли это и для общего

k

$k$ порядка? А именно, положите

x_{K - T H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) g_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$ где

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$ - импульсный откликудержания

k

$k$ порядка, я хотел бы знать, является ли его импульсный отклик

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ к раз.

sampling interpolation отметка
источник

я не видел ссылку для

-го удержания порядка для

. я бы ожидал, что это будет функция

свернутая с самим собой

раз. но я не знаю, что это за определение.

k

$k$

k > 1

$k>1$

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$

k - 1

$k-1$

Роберт Бристоу-Джонсон

1

@ robertbristow-johnson: По аналогии с удержанием нулевого порядка (полиномиальная интерполяция нулевого порядка, т.е. кусочно-постоянная) и удержанием первого порядка (полиномиальная интерполяция первого порядка, т.е. кусочно-линейным), удержание n-го порядка является кусочной интерполяцией полиномом n-го порядка. Он упоминается здесь (стр. 6).

Мэтт Л.

1

Они и то, что @ robertbristow-johnson описывает в своем ответе ниже, называются B-сплайнами.

Олли Нимитало,

Может кто-нибудь показать с матрицей изображения с фактором 2, пожалуйста? И я совершенно не уверен в факторе здесь.

user30462

9

Это не вариант. Прежде всего, удержание второго порядка будет использовать три точки выборки для вычисления полинома интерполяции, но предлагаемый импульсный отклик не равен нулю в интервале размера (при условии, что интервал выборки равен , как вы делаете в своем вопросе). Однако импульсная характеристика, соответствующая удержанию второго порядка, должна иметь опору длины . $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ $4$ $T=1$ $3$

Теперь вы можете предположить, что удержание порядка может иметь импульсную характеристику, которая является сверткой прямоугольных функций. В этом случае вы получите правильный размер поддержки, но, конечно, этого недостаточно. $n^{th}$ $n$

-порядка трюма вычисляет кусочно-интерполяцию с использованием последовательных точек данных. Это аналогично удержанию нулевого порядка с использованием одной точки данных и удержанию первого порядка, в котором используются две точки данных. Это определение обычно используется в литературе (см., Например, здесь и здесь ). $n^{th}$ $n+1$

Нетрудно показать, что многочлен второго порядка, который интерполирует три точки данных , и , определяется как $y[-1]$ $y[0]$ $y[1]$

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

Чтобы найти импульсную характеристику, достигающую интерполяции , мы должны приравнять к выражению $(1)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

Если мы выберем поддержку импульсного отклика в качестве интервала , что эквивалентно выбору интервала интерполяции , то уравнение и приведет к следующему импульсу ответ удержания второго порядка: $h(t)$ $[-1,2]$ $[0,1]$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < t < 0 \\ 1 - t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{1}{2} (t - 1) (t - 2), & 1 < t < 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

$(3)$

Я оставляю это на ваше усмотрение, чтобы показать, что этот импульсный отклик не может быть получен путем свертывания трех прямоугольных функций друг с другом.

Мэтт Л.
источник

Мэтт, не могли бы вы дать ссылку для представления, что такое удержание 2-го порядка? я на 100% убежден, что сюжет ошибочен.

Роберт Бристоу-Джонсон

h (t)

$h(t)$

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$

6

$n$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ $n$

$x(t)$ $x[n]\triangleq x(nT)$

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

который является выходом идеального фильтра кирпичной стены с частотной характеристикой:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

когда управляется идеально выбранной функцией

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

поэтому, когда переходит в , получается . - фактор необходим для того , что коэффициент усиления в полосе пропускания фильтра реконструкции, представляет собой безразмерное или 0 дБ. $x_\text{s}(t)$ $H(f)$ $x(t)$ $T$ $H(f)$ $1$

это означает, что импульсный отклик этого идеального фильтра Brickwall является

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

$x(t)$

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

$h(t)$

$x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

и это может быть смоделировано как фильтр с импульсной характеристикой

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

движимый тем же . так $x_\text{s}(t)$

x_{DAC} (t) = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

и частотная характеристика фильтра подразумеваемой реконструкции

\begin{aligned} H_{ZOH} (f) & = F^{- 1} {h_{ZOH} (t)} \\ = \frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{j π f T} sinc (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

обратите внимание на постоянную задержку половины выборки в этой частотной характеристике. что, где удержание нулевого порядка приходит.

Таким образом, хотя ZOH имеет тот же коэффициент усиления постоянного тока, что и идеальная реконструкция кирпичной стены, но не такой же коэффициент усиления на других частотах. кроме того, изображения в не полностью разбиты, как это было бы с кирпичной стеной, но они немного побиты. $x_\text{s}(t)$

так почему в POV временной области это? я думаю, что это из-за разрывов в . это не так плохо, как сумма импульсов Дирака в , но имеет скачкообразные разрывы. $x_\text{DAC}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$

как избавиться от скачков? возможно превратить их в разрывы первой производной. и вы делаете это, используя интеграцию в непрерывной области времени. таким образом , удержание первого порядка - это то, где выход ЦАП проходит через интегратор с передаточной функцией но мы пытаемся отменить эффекты интегратора с помощью дифференциатора, выполненного в область дискретного времени. выход этого дифференциатора с дискретным временем равен или Z-преобразованию $\frac{1}{j 2 \pi f T}$ $x[n] - x[n-1]$ $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

передаточная функция этого дифференциатора равна или, в непрерывной области Фурье, . это заставляет передаточную функцию первого порядка поддерживать функцию интегратора с непрерывным временем, дифференциатора с дискретным временем и ZOH ЦАП, умноженных вместе. $(1 - z^{-1})$ $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$

\begin{aligned} H_{FOH} (f) & = F^{- 1} {h_{FOH} (t)} \\ = {(\frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T})}^{2} \\ = e^{j 2 π f T} {sinc}^{2} (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

импульсный ответ этого

\begin{aligned} h_{FOH} (t) & = F {H_{FOH} (f)} \\ = (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) ⊛ (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) \\ = \frac{1}{T} tri (\frac{t - T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

теперь, продолжая это далее, трюм второго порядка будет иметь как непрерывный ноль, так и первые производные. он делает это, снова интегрируясь в область непрерывного времени и пытаясь компенсировать это в области дискретного времени с другим дифференциатором. это бросает в другом факторе что означает свертывание с другим . $e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$

Роберт Бристоу-Джонсон
источник

Это в конечном итоге приведет к импульсной реакции Гаусса, и я не могу понять это интуитивно. Я твердо верю, что удержание n-го порядка - в полной аналогии с ZOH и FOH - полиномиальным интерполятором n-го порядка. Я разделяю эту точку зрения с несколькими другими авторами: например, с этими и с этим . Я не видел твоей интерпретации n-го ордена где-либо еще.

Мэтт Л.

очень длинный гауссов импульсный отклик удержания порядка будет состоять из смежных участков кусочно- многочленов порядка, объединенных таким образом, что все производные, вплоть до -й производной, будут непрерывными. и я думаю, что это причинно-следственная связь. Кстати, я еще не закончил ответ. Сорта помешался на этом, но я планирую связать все это вместе в конце концов. и я исправлю целую лота грамматику

n

$n$

n + 1

$n+1$

n

$n$

(n - 1)

$(n-1)$

Роберт Бристоу-Джонсон

2

Другой вопрос был отмечен как дубликат этого. Там также был задан вопрос о том, что такое полигональное удержание . Он и удержание многоугольника кажутся синонимами для линейной интерполяции, где «точки связаны», а не выход, похожий на пилу, как при прогнозирующем удержании первого порядка. Для соединения семплов с линиями необходимо заранее знать следующий семпл, чтобы линия могла быть направлена в правильном направлении. В контексте систем управления в реальном времени, где выборки заранее неизвестны, это означает, что вывод должен быть задержан на один период выборки, чтобы линии могли подключаться к выборкам.

Полиномиальное удержание (не многоугольное удержание) включает в себя как удержание нулевого порядка, так и удержание первого порядка.

Олли Нимитало
источник

Ноль, Первый, Второй ... Удержание n-го порядка

Ответы: