«Комплексная выборка» может сломать Найквиста?

Я слышал анекдотическую историю о том, что дискретизация сложных сигналов не обязательно должна соответствовать частоте дискретизации Найквиста, но на самом деле ее можно избежать с половиной частот дискретизации Найквиста. Мне интересно, есть ли правда в этом?

Из Найквиста мы знаем, что для однозначной выборки сигнала нам необходимо произвести выборку как минимум выше, чем удвоенная полоса пропускания этого сигнала. (Я определяю пропускную способность здесь, как они делают в вики- ссылке, иначе говоря, занятость положительной частоты). Другими словами, если мой сигнал существует от -B до B, мне нужно выбрать как минимум> 2 * B, чтобы удовлетворить Найквиста. Если бы я микшировал этот сигнал до fc и хотел бы выполнить полосовую дискретизацию, мне нужно было бы сделать выборку как минимум> 4 * B.

Это все отлично подходит для реальных сигналов.

Мой вопрос заключается в том, есть ли правда в утверждении, что сложный сигнал в основной полосе частот (то есть тот, который существует только на одной стороне частотного спектра) не нужно дискретизировать со скоростью, по крайней мере,> 2 * B, но на самом деле может быть адекватно отобранным с частотой не менее> B?

(Я склонен думать, что если это так, то это просто семантика, потому что вам все равно нужно брать два образца (один реальный и один воображаемый) за время выборки, чтобы полностью представить вращающийся вектор, тем самым строго следуя Найквисту .. .)

о чем ты думаешь?

Ваше понимание верно. Если вы производите выборку с частотой , то только с реальными выборками вы можете однозначно представить частотный контент в регионе [ 0 , f $f_s$$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

$f_s$$-\frac{f_s}{2}$$\frac{f_s}{2}$$f_s$

Существует также простой подход для объяснения этого: если ваш реальный сигнал основной полосы частот имеет спектр от -B до + B, вы производите выборку с 2B, поэтому убедитесь, что спектральные повторения спектра не перекрываются. Перекрытие будет означать, что вы получаете псевдонимы и не можете восстановить исходный спектр.

Теперь со сложным сигналом спектр колеблется, как упоминал Джейсон, от 0 до B. (Теоретически он может также иметь спектр на отрицательных частотах, но для большинства практических случаев он будет колебаться от 0 до B.) Если вы производите выборку с скорость B, так как в исходном спектре нет частей на отрицательных частотах, повторы спектра не будут перекрываться -> однозначное восстановление возможно!

Я бы сказал, что это квалифицированное «Нет», в том смысле, что количество отдельных реальных выборок не было должным образом уточнено вместе с целью выбора скорости оцифровки сигнала.

Во-первых, все сигналы реального мира являются Реальными, а не сложными. То есть каждый раз, когда мы сталкиваемся со сложным представлением, у нас фактически есть две (реальные) точки данных, которые должны быть учтены в пределе «Найквиста».

Второй вопрос - это «отрицательные частоты», воспринимаемые из основной полосы частот. Практически все учения по сэмплированию ведутся с точки зрения основной полосы частот, поэтому частоты, как правило, равны 0..B, что затем дискретизируется при fs. Отрицательные частоты в некотором роде игнорируются (используя комплексное сопряженное тождество).

Можно думать о сигнале основной полосы, как будто он модулируется на нулевой частоте, однако запуск модуляции несущей в номинальной точке fs / 2 может быть освещающим, как мы тогда видим две боковые полосы, и (математический) комплексный член из перевозчик. Ранее отрицательная частота сместилась. И мы можем больше не иметь сложной сопряженной идентичности.

Если идентичность комплексного сопряжения была устранена, мы больше не имеем сворачивания частоты, и у нас есть простое обтекание псевдонимами.

Таким образом, если мы получаем ВЧ реальный сигнал для обеспечения демодуляции комплексного представления без свертывания, мы в некотором смысле получаем полосу частот fs / 4 (+/- B). Для каждых 4 выборок данных (0, 90, 180, 270 градусов) мы выводим два значения, которые представляют синфазные (0 - 180) и квадратурные (90 - 270) компоненты всей комплексной выборки.

В полностью сложном мире, если сигнал сложный, частота дискретизации сложна, что приводит к удвоению слагаемых. Это зависит от того, какие математические особенности вам нужны из дискретизированного сигнала.