Симметрия дискретного преобразования Фурье

Я читал главу о дискретных преобразованиях Фурье в книге Лиона «Понимание цифровой обработки сигналов» и не мог понять последний параграф о симметрии.

Существует еще одно свойство симметрии ДПФ, которое заслуживает упоминания в этой точке. На практике нам иногда требуется определить ДПФ реальных функций ввода, где индекс входа определяется как для положительных, так и для отрицательных значений. Если эта реальная функция ввода четна, то всегда действительна и четна; то есть, если действительное , то в общем случае не равно нулю, а равно нулю. И наоборот, если реальная входная функция нечетная, x (n) = −x (−n) , то X _ {\ textrm {real}} (m) всегда равен нулю, а X _ {\ textrm {imag}} (m) равен В общем, ненулевой.X ( m ) x ( n ) = x ( - n ) X real ( m ) X imag ( m $n$$X(m)$$x(n) = x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$X real ( m ) X imag ( m $x(n) = −x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Примечание. $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

• Во-первых, что подразумевается под «нечетным» и «четным»? Я подозреваю, что это число выборок во входном сигнале, но это подводит меня ко второму вопросу,
• Почему $X_{\textrm{imag}}(m)$ равен нулю с реальными функциями ввода, которые являются четными, и почему с реальными функциями ввода, которые являются нечетными, равен $X_{\textrm{real}}(m)$ нулю и $X_{\textrm{imag}}(m)$ вообще не ноль?

Четные и нечетные относятся к симметрии вокруг .$n = 0$

Четное означает ; Вы можете получить деталь для , просто отразив деталь для в строке .n < 0 n > 0 n = $x[n] = x[-n]$$n < 0$$n > 0$$n=0$

Нечетное означает ; Вы можете получить часть для , просто отразив часть для в строке и умножив ее на .n < 0 n > 0 n = 0 - $x[n] = -x[-n]$$n < 0$$n > 0$$n=0$$-1$

Волна косинуса четная, волна синуса нечетная.

Это всего лишь частные случаи общей симметрии, которая говорит

если он реален в одной области, он сопряжён симметрично в другой.

Сопряженная симметрия означает, что действительная часть четная, а мнимая часть нечетная. Большинству людей известно, что сигнал в области реального времени представляет собой сопряженный симметричный спектр, но он также работает наоборот: сопряженный симметричный сигнал во временной области имеет реальный спектр.

Ответ Хильмара, конечно, совершенно правильный, но я думаю, что есть несколько моментов, которые Лайонс не учел в заявлении, цитируемом ФП (или, возможно, он говорил о них ранее и решил не повторяться в параграфе, цитируемом ФП) ,

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) обычно описывается как преобразование последовательности конечной длины в другую последовательность длины где Но эти формулы также можно использовать, когда находятся за пределами диапазона и если мы это сделаем, мы приходим к выводу, что ДПФ длины можно рассматривать как преобразование изN ( X [ 0 ] , X [ 1 ] , … , X [ N - 1 ] ) N X [ м $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$N$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$$N$m,n[0,N-1]Nx[⋅]X[⋅](x[0],x[1],…,x[N]-1])(Х[0],Х

$$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$$ $m, n$$[0, N-1]$$N$периодическая последовательность к другой периодической последовательности , причем обе простираются до бесконечности в обоих направлениях, и что и являются лишь одним периодом этих бесконечно длинных последовательностей. Обратите внимание, что мы настаиваем на том, чтобы и для всех и .$x[\cdot]$$X[\cdot]$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$$x[n+iN] = x[n]$$X[m+iN] = X[m]$$m, n,$$i$

Это, конечно, не то, как данные часто обрабатываются на практике. Мы можем иметь очень длинную последовательность проб, и мы разобьем их на блоки подходящей длины . Мы вычисляем ДПФ как ДПФ следующего фрагмента как ДПФ предыдущего блока как $N$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

$$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ $$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ $$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ и т. д., а затем мы играем с этими различными DFT из различных кусков, на которые мы разделили наши данные. Конечно, если данные фактически периодические с периодом , все эти ДПФ будут одинаковыми.$N$

Теперь, когда Лайонс говорит о ... где входной индекс n определяется как по положительным, так и по отрицательным значениям ... он говорит о периодическом случае, и когда он говорит, что (действительная) четная функция обладает свойством , это свойство должно выполняться для всех целых чисел . Поскольку периодичность также применима, мы имеем не только то, что но и , и, аналогично, . Другими словами, действительная четная последовательность , DFT которой является действительной четной последовательностью (как заявлено Лионом и очень хорошо объяснено Хильмаром), обязательно$x[n] = x[-n]$$n$$x[-1] = x[1]$$x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$$x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$вида который (кроме ведущего ) является палиндромной последовательностью. Если вы разбиваете свои данные на блоки длины и вычисляете ДПФ каждого блока по отдельности, то эти отдельные ДПФ не будут иметь свойства симметрии, описанные выше, если только ДПФ не является блоком с этим палиндромным свойством.x [ 0 ]

$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$$ $x[0]$$N$

Просто для четного и нечетного уточнения функции,

Четный: симметричный относительно оси y Нечетный: симметричный относительно начала координат

И, не вдаваясь в математические детали, ДПФ действительной функции симметричен, то есть результирующая функция Фурье имеет как действительные, так и мнимые части, которые являются зеркальными изображениями относительно нулевой частотной составляющей. Этого не происходит в случае, когда вы берете DFT из сложной функции.