Когда мы можем написать принцип неопределенности Гейзенберга как равенство?

14

Мы знаем, что принцип неопределенности Гейзенберга гласит, что

ΔfΔt14π.

Но (во многих случаях для вейвлета Морле) я видел, что они изменили неравенство на равенство. Теперь мой вопрос: когда мы можем изменить неравенство на равенство:

ΔfΔt=14π
why =
Electricman
источник
это кажется очень интересным
дато датуашвили
1
насколько я знаю, оно равно, если распределение Гаусса имеет оптимальную форму, см. эту книгу «Иллюстрированное руководство по вейвлет-преобразованию: вводная теория и приложения в науке, технике, медицине и финансах»
dato datuashvili
1
ссылка не работает, не могли бы вы отправить книгу по электронной почте или отправить другую ссылку, пожалуйста? мой адрес электронной почты: <electrictranslation@gmail.com> спасибо @datodatuashvili
Электрик

Ответы:

8

Важно определить временные и частотные ширины и сигнала, прежде чем обсуждать какие-либо специальные формы принципа неопределенности. Единого определения этих величин не существует. С помощью соответствующих определений можно показать, что только гауссов сигнал удовлетворяет принципу неопределенности с равенством.Δ ωΔtΔω

Рассмотрим сигнал с преобразованием Фурье удовлетворяющимF ( ω )f(t)F(ω)

f2(t)dt=1(unit energy)t|f(t)|2dt=0(centered around t=0)ω|F(ω)|2dω=0(centered around ω=0)

Ни одно из этих условий на самом деле не является ограничением. Все они могут быть удовлетворены (для сигналов с конечной энергией) путем соответствующего масштабирования, трансляции и модуляции.

Если мы теперь определим ширину времени и частоты следующим образом

Δt2=t2|f(t)|2dtΔω2=ω2|F(ω)|2dω

тогда принцип неопределенности гласит, что

(2.6.2)Δt2Δω2π2

(если исчезает быстрее, чем для )1 / f(t) t±1/tt±

где неравенство удовлетворяется равенством для гауссовского сигнала

(2.6.3)f(t)=απeαt2

Вышеприведенные числа уравнений соответствуют приведенному ниже доказательству из Вейвлетов и Подполосного кодирования Веттерли и Ковачевича (стр. 80):

введите описание изображения здесь

Мэтт Л.
источник
спасибо за математику, я постараюсь это понять. @ matt-l
Электрик
@ Матт Л .: Почему вы определяете ширину времени и частоты с помощью квадратного весового коэффициента? В школе я видел, что дисперсии ∆t и ∆w. Вариации распределений с линейным весовым коэффициентом? Что это? Значит ли это, что этот принцип неопределенности говорит не о дисперсии функции и дисперсии ее спектра, а о чем-то еще?
Мартейн Курто
@MartijnCourteaux: это только один из возможных способов определения ширины сигнала. Применительно к функции времени ее часто называют среднеквадратичной продолжительностью , и это просто второй момент . |f(t)|2
Мэтт Л.
Можно ли математически сформулировать принцип неопределенности Гейзенберга, который включает второй момент функции ? Я могу понять, что Гейзенберг использовал , потому что это - вероятность волновой функции частицы. Но я хотел бы знать принцип Гейзенберга в контексте обработки сигналов. | f ( x ) | 2f(t)|f(x)|2
Мартин Курто
1
f(t)f(t)f(t)t2f(t)dt
3

Я не могу дать вам всю теорию, стоящую за этим (поскольку она буквально заполняет книги), но оказывается, что Гейзенберг становится точным равенством именно для этого семейства сигналов:

st0,ω0,σ,ϕ,γ(t)=exp((tt0σ)2+i(ϕ+ω0(tt0)+γ(tt0)2))

где все параметры являются действительными числами. Это семейство порождается квадратичными симплектоморфизмами по частоте времени от одного атома Габора. Эти симплектоморфизмы сохраняют соотношение неопределенностей Гейзенберга.

ΔFΔTγ

Однако понятие частотно-временной области может быть обобщено для измерения площади фигур, которые не выровнены по оси времени и частоты. Это означает, что вместо продукта неопределенности между F и T мы измеряем минимальный продукт неопределенности любых двух сопряженных переменных, охватываемых F и T. Я избавлю вас от деталей, но для этого определения частотно-временной области семейство сигналов дает ты минимум.

Jazzmaniac
источник
1
Разве это не Габуорский фюльктон? »
Жан-Ив
Одна из причин, по которой он «заполняет книги», заключается в том, что многие условия, необходимые для равенства, точно определены и ограничены (часто за пределами какой-либо полезности в любом другом контексте, например в реальном мире).
hotpaw2
Первоначальным контекстом принципа неопределенности Гейзенберга была физика, в частности квантовая механика, где рассматриваемые сопряженные переменные - это положение и импульс. Это не ограничивается анализом времени / частоты.
user2718
@BZ, вы проповедуете хору здесь. Я математический квантовый физик. Однако я не совсем понимаю смысл вашего комментария здесь или в вашем собственном ответе.
Jazzmaniac
2

Принцип неопределенности устанавливает теоретическую границу разрешения, поэтому он никогда не записывается как равенство.

Отношения равенства, с которыми вы сталкиваетесь, предназначены для конкретного контекста анализа и реализации анализа. В этом случае контекстом является анализ сигнала, поэтому время / частота являются интересующими сопряженными переменными, а реализация - конкретным используемым вейвлетом.

Отношение равенства позволяет сравнивать разрешения в разных реализациях анализа. При интерпретации этих отношений необходимо соблюдать осторожность, поскольку определение разрешения не должно, но может варьироваться.

Соотношение равенства уместно, если вы определили две вещи: 1) математическое значение разрешения. 2) метод анализа (в данном случае выбор вейвлета).

user2718
источник
Если копать глубже, то принцип Гейзенберга становится гораздо больше, чем утверждение о разрешении. Он тесно связан с геометрией частоты времени в математической структуре, называемой симплектической некоммутативной геометрией. Он обеспечивает теоретико-информационную меру для частотно-временной информации и становится точно целым квантованным. Вы даже можете использовать его для обобщения теоремы Шеннона для восстановления произвольных TF-областей.
Jazzmaniac
В квантовой механике принцип неопределенности - это любое из множества математических неравенств, устанавливающих фундаментальный предел точности, с которой определенные пары физических свойств частицы, известных как дополнительные переменные, такие как положение x и импульс p, могут быть известны одновременно. Например, в 1927 году Вернер Гейзенберг заявил, что чем точнее определяется положение какой-либо частицы, тем менее точно может быть известен ее импульс, и наоборот. [Википедия - но я изучил это в физике и посетил это снова в классах анализа]
user2718