Когда мы можем написать принцип неопределенности Гейзенберга как равенство?

Мы знаем, что принцип неопределенности Гейзенберга гласит, что

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Но (во многих случаях для вейвлета Морле) я видел, что они изменили неравенство на равенство. Теперь мой вопрос: когда мы можем изменить неравенство на равенство:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution Electricman
источник

это кажется очень интересным

дато датуашвили

насколько я знаю, оно равно, если распределение Гаусса имеет оптимальную форму, см. эту книгу «Иллюстрированное руководство по вейвлет-преобразованию: вводная теория и приложения в науке, технике, медицине и финансах»

dato datuashvili

ссылка не работает, не могли бы вы отправить книгу по электронной почте или отправить другую ссылку, пожалуйста? мой адрес электронной почты: <electrictranslation@gmail.com> спасибо @datodatuashvili

Электрик

Ответы:

Важно определить временные и частотные ширины и сигнала, прежде чем обсуждать какие-либо специальные формы принципа неопределенности. Единого определения этих величин не существует. С помощью соответствующих определений можно показать, что только гауссов сигнал удовлетворяет принципу неопределенности с равенством. $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

Рассмотрим сигнал с преобразованием Фурье удовлетворяющим $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Ни одно из этих условий на самом деле не является ограничением. Все они могут быть удовлетворены (для сигналов с конечной энергией) путем соответствующего масштабирования, трансляции и модуляции.

Если мы теперь определим ширину времени и частоты следующим образом

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

тогда принцип неопределенности гласит, что

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

(если исчезает быстрее, чем для ) $f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

где неравенство удовлетворяется равенством для гауссовского сигнала

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Вышеприведенные числа уравнений соответствуют приведенному ниже доказательству из Вейвлетов и Подполосного кодирования Веттерли и Ковачевича (стр. 80):

введите описание изображения здесь

Мэтт Л.
источник

спасибо за математику, я постараюсь это понять. @ matt-l

Электрик

@ Матт Л .: Почему вы определяете ширину времени и частоты с помощью квадратного весового коэффициента? В школе я видел, что дисперсии ∆t и ∆w. Вариации распределений с линейным весовым коэффициентом? Что это? Значит ли это, что этот принцип неопределенности говорит не о дисперсии функции и дисперсии ее спектра, а о чем-то еще?

Мартейн Курто

@MartijnCourteaux: это только один из возможных способов определения ширины сигнала. Применительно к функции времени ее часто называют среднеквадратичной продолжительностью , и это просто второй момент .

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

Мэтт Л.

Можно ли математически сформулировать принцип неопределенности Гейзенберга, который включает второй момент функции ? Я могу понять, что Гейзенберг использовал , потому что это - вероятность волновой функции частицы. Но я хотел бы знать принцип Гейзенберга в контексте обработки сигналов.

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

Мартин Курто

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

Я не могу дать вам всю теорию, стоящую за этим (поскольку она буквально заполняет книги), но оказывается, что Гейзенберг становится точным равенством именно для этого семейства сигналов:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

где все параметры являются действительными числами. Это семейство порождается квадратичными симплектоморфизмами по частоте времени от одного атома Габора. Эти симплектоморфизмы сохраняют соотношение неопределенностей Гейзенберга.

$\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

Однако понятие частотно-временной области может быть обобщено для измерения площади фигур, которые не выровнены по оси времени и частоты. Это означает, что вместо продукта неопределенности между F и T мы измеряем минимальный продукт неопределенности любых двух сопряженных переменных, охватываемых F и T. Я избавлю вас от деталей, но для этого определения частотно-временной области семейство сигналов дает ты минимум.

Jazzmaniac
источник

Разве это не Габуорский фюльктон? »

Жан-Ив

Одна из причин, по которой он «заполняет книги», заключается в том, что многие условия, необходимые для равенства, точно определены и ограничены (часто за пределами какой-либо полезности в любом другом контексте, например в реальном мире).

hotpaw2

Первоначальным контекстом принципа неопределенности Гейзенберга была физика, в частности квантовая механика, где рассматриваемые сопряженные переменные - это положение и импульс. Это не ограничивается анализом времени / частоты.

user2718

@BZ, вы проповедуете хору здесь. Я математический квантовый физик. Однако я не совсем понимаю смысл вашего комментария здесь или в вашем собственном ответе.

Jazzmaniac

Принцип неопределенности устанавливает теоретическую границу разрешения, поэтому он никогда не записывается как равенство.

Отношения равенства, с которыми вы сталкиваетесь, предназначены для конкретного контекста анализа и реализации анализа. В этом случае контекстом является анализ сигнала, поэтому время / частота являются интересующими сопряженными переменными, а реализация - конкретным используемым вейвлетом.

Отношение равенства позволяет сравнивать разрешения в разных реализациях анализа. При интерпретации этих отношений необходимо соблюдать осторожность, поскольку определение разрешения не должно, но может варьироваться.

Соотношение равенства уместно, если вы определили две вещи: 1) математическое значение разрешения. 2) метод анализа (в данном случае выбор вейвлета).

user2718
источник

Если копать глубже, то принцип Гейзенберга становится гораздо больше, чем утверждение о разрешении. Он тесно связан с геометрией частоты времени в математической структуре, называемой симплектической некоммутативной геометрией. Он обеспечивает теоретико-информационную меру для частотно-временной информации и становится точно целым квантованным. Вы даже можете использовать его для обобщения теоремы Шеннона для восстановления произвольных TF-областей.

Jazzmaniac

В квантовой механике принцип неопределенности - это любое из множества математических неравенств, устанавливающих фундаментальный предел точности, с которой определенные пары физических свойств частицы, известных как дополнительные переменные, такие как положение x и импульс p, могут быть известны одновременно. Например, в 1927 году Вернер Гейзенберг заявил, что чем точнее определяется положение какой-либо частицы, тем менее точно может быть известен ее импульс, и наоборот. [Википедия - но я изучил это в физике и посетил это снова в классах анализа]

user2718