Существуют ли подходы расщепления операторов для мультифизических PDE, которые достигают сходимости высокого порядка?

16

Учитывая эволюцию PDE

UTзнак равноAU+ВU

где - (возможно, нелинейные) дифференциальные операторы, которые не коммутируют, общий численный подход заключается в чередовании решенияA,В

UTзнак равноAU

и

UTзнак равноВU,

Простейшая реализация этого метода называется расщеплением Годунова и имеет точность 1-го порядка. Другой известный подход, известный как расщепление Странга, является точностью 2-го порядка. Существуют ли методы расщепления операторов более высокого порядка (или альтернативные мультифизические подходы дискретизации)?

pde multiphysics operator-splitting Дэвид Кетчесон
источник
1
Термины жесткие или нежесткие? У вас есть функция, которая применяет A и B, или у вас есть только алгоритм, который увеличивает состояние от до t n + 1 ? В случае, когда кто-то жёсткий, а другой не жёсткий, есть много интересных методов. TNTN+1
Джед Браун

Ответы:

7

Насколько я понимаю, формула МПБ - это систематический способ аппроксимации экспоненциальной матрицы двух некоммутативных матриц.

Мэтт Кнепли
источник
Но разве это не приводит к сложным условиям, даже если PDE реальна? Люди используют его для дискретизации выше 2-го порядка?
Дэвид Кетчесон
1
Не из моей памяти (или веб-страницы). Это приводит к большому количеству коммутаторов. В квантовом множестве тел есть хорошие способы упростить эти выражения.
Мэтт Кнепли
7

Если вы рассматриваете общие операторы A и B и хотите выполнять только положительные временные шаги (что обычно требуется при решении параболических задач), существует барьер порядка 2, т. Е. При использовании любого вида расщепления вы не сможете получить скорость сходимости выше двух. Элементарное доказательство дано в недавней статье С. Бланеса и Ф. Касаса, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf .

Однако есть несколько выходов, если вы знаете немного больше о своей проблеме:

  • Предположим, что вы можете решить свои уравнения задом наперед (что характерно, например, для уравнений Шредингера), тогда есть много доступных расщеплений, см. Книгу «Геометрическое численное интегрирование» Хайрера, Любича и Ваннера.
  • Если ваши операторы генерируют аналитические полугруппы, т.е. вы можете вставить комплексные значения для t (типичные для параболических уравнений), недавно было замечено, что вы можете получить расщепления более высокого порядка, перейдя в комплексную плоскость. Первые статьи в этом направлении написаны Э. Хансеном и А. Остерманом, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf и Ф. Кастеллой, П. Шартье. S. Descombes и G. Vilmart. Выбор сложных расщеплений, которые являются «оптимальными» в некотором смысле, является темой текущего исследования, вы можете найти несколько статей по теме об arxiv.

Подводя итоги: если вы выдвигаете некоторые предположения по своей проблеме, вы можете что-то получить, но если нет, то порядок 2 является максимальным.

PS: Мне пришлось убрать ссылку на документ Castella et al из-за предотвращения спама, но вы можете легко найти его в Google.

Филипп Дёрсек
источник
5

Группа CCSE в LBNL недавно использовала методы спектральной отложенной коррекции (SDC) в потоке с низким числом Маха со сложной химией. Они сравнивают результаты SDC с расщеплением Strang, и результаты очень многообещающие.

Вот черновик с подробной информацией: Стратегия отложенной коррекционной связи для потока малых чисел Маха со сложной химией

Обратите внимание, что схема SDC является итерационной схемой, которая сходится к высокому порядку точного коллокационного решения, но она построена из методов первого порядка.

Мэтью Эмметт
источник
2

Ошибка расщепления может быть, по крайней мере, в принципе, уменьшена методами спектральной отложенной коррекции. Тем не менее, это, кажется, область активных исследований и не совсем готовая для общего использования.

Брайан
источник