Где найти хороший справочник по свойствам устойчивости нескольких методов решения параболических уравнений в частных производных?

10

Прямо сейчас у меня есть код, который использует алгоритм Кранка-Николсона, но я думаю, что я хотел бы перейти к алгоритму более высокого порядка для временного перехода. Я знаю, что алгоритм Кранка-Николсона стабилен в той области, в которой я хочу работать, но я обеспокоен тем, что некоторые другие алгоритмы могут не работать.

Я знаю, как рассчитать область устойчивости алгоритма, но это может быть своего рода болью. Кто-нибудь знает какой-либо хороший справочник по свойствам устойчивости большого числа алгоритмов пошагового перехода для параболических PDE?

Дэн
источник

Ответы:

5

Мой личный фаворит - книга Джона Стрикверда "Схемы конечных разностей и уравнения в частных производных" .

У него очень хорошая трактовка теории устойчивости с использованием анализа Фурье. У меня есть только первое издание, где он не представляет идею региона стабильности. По данным сайта SIAM, второе издание добавило этот материал.

Джон Стоки
источник
10

Очень краткий ответ: для полной информации, вы не можете победить Хайрера и Ваннера, том II .

Краткий ответ: Вот несколько сценариев MATLAB для построения области устойчивости линейного многошагового метода или метода Рунге-Кутты с учетом коэффициентов. Вы также можете использовать нодпию пакета Python (отказ от ответственности: это мой пакет, и это не самая отлаженная часть программного обеспечения, но построение областей стабильности - это то, что он делает очень хорошо). Инструкции для построения областей стабильности здесь .

Более длинный ответ: есть три класса методов, которые могут вас заинтересовать.

  • AA-устойчивость. Некоторыми примерами таких методов являются методы Гаусса-Лежандра, Радау и Лобатто. Все это полностью неявно и, следовательно, довольно дорого.

  • A(α)ode15s()α

  • Явные методы , которые будут обязательно включать только конечный интервал на отрицательной вещественной оси. Существуют специальные «стабилизированные» явные методы (в частности, методы Рунге-Кутта-Чебышева ), которые имеют большие области устойчивости отрицательных вещественных осей и подходят для умеренно жестких задач, но обычно не для параболических задач. Хорошим входом в эту литературу является эта статья , в которой содержится много информации о регионах стабильности.

LL

Обновление : если вам действительно нужно знать все об этой теме, получите копию монографии Деккера и Вервера . В нем содержится одно из лучших существующих представлений о таких понятиях, как односторонние константы Липшица, логарифмическая норма и несколько более глубоких понятий устойчивости. Он распечатан, но обычно вы можете найти использованные копии на Amazon (по цене!)

Дэвид Кетчесон
источник
Hairer II определенно лучший. Это, пожалуй, единственное место, где можно найти адаптацию размера шага PI. Но он упускает важные детали, такие как условия дополнительного порядка для методов Розенброка на параболических PDE, например. Конечно, ни в одной книге не может быть всего, но должно быть что-то лучше конкретно по теме параболических PDE.
Крис