Почему мой итерационный линейный решатель не сходится?

Что может пойти не так, если использовать методы Крылова из KSP ( пакет линейного решателя PETSc ) с предварительными именами для решения разреженной линейной системы, например, полученной путем дискретизации и линеаризации уравнений в частных производных?

Какие шаги я могу предпринять, чтобы определить, что идет не так для моей проблемы?

Какие изменения я могу внести, чтобы успешно и эффективно решить мою линейную систему?

Первоначальный совет

• Всегда пытайтесь -ksp_converged_reason -ksp_monitor_true_residualпонять, почему метод не сходится.
• Сделайте размер проблемы и количество процессов как можно меньше, чтобы продемонстрировать сбой. Вы часто получаете понимание, определяя, какие мелкие проблемы демонстрируют поведение, которое приводит к поломке вашего метода и сокращению времени оборота. Кроме того, существуют некоторые методы исследования, которые можно использовать только для небольших систем.
• Если проблема возникает только после большого количества временных шагов, шагов продолжения или нелинейных шагов решения, рассмотрите возможность записи состояния модели при сбое, чтобы вы могли быстро экспериментировать.
• В качестве альтернативы, особенно если ваше программное обеспечение не имеет возможности контрольных точек, используйте -ksp_view_binaryили MatView()для сохранения линейной системы, а затем используйте код $PETSC_DIR/src/ksp/ksp/examples/tutorials/ex10.cдля чтения в матрице и ее решения (возможно, с другим числом процессов). Для этого требуется собранная матрица, поэтому ее полезность может быть несколько ограничена.
• Существует много возможных вариантов решателя (например, бесконечное число, доступное в командной строке в PETSc из-за произвольного числа уровней композиции), см. Этот вопрос для общего совета по выбору линейных решателей.

Общие причины, по которым KSP не сходится

• Уравнения являются сингулярными случайно (например, забыли наложить граничные условия). Проверьте это для небольшой проблемы с использованием -pc_type svd -pc_svd_monitor. Также попробуйте прямой решатель с -pc_type lu(например, через сторонний пакет параллельно -pc_type lu -pc_factor_mat_solver_package superlu_dist).
• Уравнения намеренно сингулярны (например, постоянное нулевое пространство), но метод Крылова не был информирован, см KSPSetNullSpace().
• Уравнения намеренно сингулярны и KSPSetNullSpace()использовались, но правая часть не согласована. Возможно, вам придется позвонить MatNullSpaceRemove()с правой стороны, прежде чем звонить KSPSolve().
• Уравнения неопределенны, так что стандартные предварительные кондиционеры не работают. Обычно вы узнаете это по физике, но вы можете проверить это с помощью -ksp_compute_eigenvalues -ksp_gmres_restart 1000 -pc_type none. Для простых проблем седловой точки, попробуйте -pc_type fieldsplit -pc_fieldsplit_type schur -pc_fieldsplit_detect_saddle_point. См. Руководство пользователя и справочную страницу PCFIELDSPLIT для получения более подробной информации. Для более сложных проблем прочитайте литературу, чтобы найти надежные методы и спросите здесь (или petsc-users@mcs.anl.govили petsc-maint@mcs.anl.gov), если вам нужен совет о том, как их реализовать. Например, посмотрите этот вопрос для высокой частоты Гельмгольца. Для скромных размеров проблемы, посмотрите, можете ли вы жить с помощью прямого решателя.
• Если метод сходится в предобусловленном остатке, но не в истинном остатке, предобусловливатель, вероятно, является единичным или почти таким же. Это характерно для задач седловой точки (например, несжимаемый поток) или сильно несимметричных операторов (например, гиперболические задачи с низким Махом с большими временными шагами).
• Предварительный кондиционер слишком слабый или нестабильный. Посмотрите, -pc_type asm -sub_pc_type luулучшает ли скорость сходимости. Если GMRES теряет слишком много прогресса при перезапуске, посмотрите, поможет ли более длительный перезапуск -ksp_gmres_restart 300. Если доступна транспонирование, попробуйте -ksp_type bcgsдругие способы, не требующие перезапуска. (Обратите внимание, что сходимость с этими методами часто ошибочна.)
• Матрица предварительного кондиционирования может быть не близка к оператору (возможно, не разобранному). Попробуйте решить с помощью прямого решателя, либо последовательно, -pc_type luлибо параллельно, используя сторонний пакет (например -pc_type lu -pc_factor_mat_solver_package superlu_dist, или mumps). Метод должен сходиться за одну итерацию, если матрицы одинаковы, а в противном случае - за «небольшое» количество итераций. Попробуйте -snes_type testпроверить матрицы при решении нелинейной задачи.
• Предусловие является нелинейным (например, вложенное итеративное решение), попробуйте -ksp_type fgmres or -ksp_type gcr.
• Вы используете геометрическую многосетку, но некоторые уравнения (часто граничные условия) не совместимы между уровнями. Попробуйте -pc_mg_galerkinалгебраически построить правильно масштабированный грубый оператор или убедитесь, что все уравнения масштабируются одинаково, если вы хотите использовать повторно дискретизированные грубые уровни.
• Матрица очень плохо обусловлена. Проверьте номер условия, используя методы, описанные здесь . Попробуйте улучшить его, выбрав относительное масштабирование компонентов / граничных условий. Попробуй -ksp_diagonal_scale -ksp_diagonal_scale_fix. Возможно, измените постановку задачи, чтобы получить более дружественные алгебраические уравнения. Если вы не можете исправить масштабирование, вам может понадобиться прямой решатель.
• Матрица является нелинейной (например, оценивается с использованием конечного дифференцирования нелинейной функции). Попробуйте разные параметры разности (например -mat_mffd_type ds). Попробуйте использовать более высокую точность, чтобы сделать различие более точным ./configure --with-precision=__float128 --download-f2cblaslapack. Проверьте, сходится ли он в «более простых» режимах параметров.
• Симметричный метод используется для несимметричной задачи.
• Классический Грам-Шмидт становится нестабильным, попробуйте -ksp_gmres_modifiedgramschmidtили используйте метод, который ортогонализирует по-разному, например -ksp_type gcr.

Мой совет студентам - попробовать прямой решатель в этих случаях. Причина состоит в том, что существует два класса причин, по которым решатель может не сходиться: (i) матрица неверна или (ii) существует проблема с решателем / предварительным обработчиком. Прямые решатели почти всегда дают то, что вы можете сравнить с ожидаемым решением, поэтому, если ответ прямого решателя выглядит правильным, то вы знаете, что проблема заключается в итерационном решателе / ​​предварительном условии. С другой стороны, если ответ выглядит неверно, проблема заключается в сборке матрицы и правой части.

Я обычно просто использую UMFPACK в качестве прямого решения. Я уверен, что это просто попробовать что-то подобное с PETSC.