Решатели PDE для дрейфовой диффузии и родственных моделей

Я пытаюсь смоделировать базовые полупроводниковые модели для педагогических целей - начиная с модели дрейф-диффузия. Хотя я не хочу использовать готовый полупроводниковый симулятор - я буду изучать другие (распространенные, недавние или малоизвестные) модели, но я хочу использовать готовый решатель PDE.

Но даже для простого одномерного случая дрейф-диффузионная модель состоит из нескольких связанных нелинейных уравнений в частных производных:

Уравнения плотности тока

$$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n$$ $$J_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p$$

Непрерывность уравнения

$$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$$ $$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$$

Уравнение Пуассона

$$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$$

и ряд граничных условий.

Я попробовал некоторые решатели Python FEM, FEniCS / Dolfin и SfePy , но безуспешно из-за невозможности сформулировать их в слабой вариационной форме с помощью тестовых функций.

Конечно, есть возможность реализовать численное решение с нуля, но я еще не изучал FEM / Numeric, так что я надеюсь, что это не единственный мой вариант, так как я не хочу быть перегруженным численными проблемами.

Так есть ли пакет (предпочтительно с открытым исходным кодом), который будет принимать эти уравнения в такой форме и решать их? Или, может быть, вариационная форма, требуемая инструментами, не так сложна? В любом случае, какие у меня варианты?

Благодарность

---

Изменить: Попытка формулирования слабой вариационной формы для FEniCS / Dolfin или SfePy

Используя три уравнения в частных производных (Пуассона + два уравнения неразрывности с заменой J), мы ищем V, n и p. Уравнение Пуассона (с использованием тестовой функции ) является прямым. У меня, однако, трудности с уравнениями неразрывности.$u_V$

Второй PDE (сильная форма) где - постоянные, - скалярные функции

$$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \nabla \cdot (C_1 n \nabla V +C_2\nabla n) + U$$ $C_1, C_2$$U, n, p, V$

Пусть обозначает тестовую функцию для второго PDE. потом$f_n$

$$\int_{\Omega}f_n\frac{n - n_1}{\Delta t}d\Omega - C_1 \int_{\Omega}f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega - C_2 \int_{\Omega}f_n \nabla^2 n d\Omega - \int_{\Omega}f_n U d\Omega$$

Особенно беспокоит интеграл:

$$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega$$

Но является вектором, а - скалярами. Затем используйте идентификатор $\mathbf{\nabla V}$$V, u_n, n$$\nabla \cdot \phi \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla \phi} + \phi \nabla \cdot \mathbf{A}$

$$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega = C_1 \int_{\Omega} f_n (\nabla V \cdot \nabla n) + C_1 \int_{\Omega} f_n n \nabla \cdot \nabla V$$

Поскольку V решается с помощью уравнения Пуассона, можем ли мы использовать недавно вычисленное значение, как это разрешено в программном обеспечении Dolfin / FEniCS, и упростить, как мы рассматриваем V в этом втором связанном уравнении? Такие методы работают при дискретизации (например, Gummel, ...), чего я не делаю в этих готовых решателях!

Также граничные условия даны в терминах не , как вы это реализуете? Должен ли я решить для пяти переменных , даже если определяется V и n?$J_n$$n$$J_n, J_p, n, p, V$$J_n$

Формула Scharfetter-Gummel (SG) обычно используется для решения уравнений плотности тока. Это специальная формулировка, которая преодолевает трудности в решении нелинейной зависимости между потенциалом и плотностью тока.

Стандартный текст, обсуждающий, как эти уравнения, использующие методы интегрирования блоков, находится в этой книге: Selberherr, S., Анализ и моделирование полупроводниковых приборов. Springer-Verlag 1984

Этот тип моделирования называется технологией компьютерного проектирования (TCAD). В отличие от метода конечных элементов (FEM), метод конечных объемов (FVM) используется для расчета токов. Это потому, что он вписывается в формулировку СГ, которая была показана (практиками этого метода) для работы при решении уравнений плотности тока.

Если вы хотите решить эту проблему с использованием обобщенных PDE, COMSOL имеет Semiconductor Module, который решает эту проблему с использованием гибридного метода FEM / FVM.

Кроме того, коммерческие и открытые симуляторы TCAD перечислены здесь: http://www.tcadcentral.com

Насколько мне известно, решателями обобщенных PDE TCAD являются DEVSIM, FLOOPS, PROPHET. В коммерческих инструментах, как правило, большинство физических уравнений жестко запрограммированы на скомпилированном языке, таком как C ++.