Трудность со спектральным методом с использованием полиномов Чебышева

У меня есть небольшие трудности в попытке понять статью. В статье используется спектральный метод для определения собственного значения, которое исходит из системы связанных ODE. Сейчас я напишу только одно уравнение, потому что этого достаточно, чтобы понять суть моего вопроса (вопросов).

Уравнение

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Я выполняю производную и получаю

(Уравнение 1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Теперь согласно статье я должен быть в состоянии расширить равновесные величины ) системы как полиномы Чебышева вида$(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

, гдеTi[y]- многочлены. Я знаюкак получитьбяпомощью кодая написал в Mathematica. Такжеy=2(r/R)-1, а областьrравна(0,R).$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$$T_i[y]$$b_i$$y = 2(r/R) -1$$r$$(0,R)$

В статье также говорится, что функции ( ) можно расширить как F [ r ] = ( $V,W$, и что в целом такой термин, какB[r]F[r],может быть выражен как$F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$$B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

где и Θ ( k ) = 0 для k < 0 и равно 1 для k ≥ 0 .$\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$$\Theta(k) = 0$$k<0$$k\geq 0$

С учетом всего сказанного, допустим, я выполняю следующие функции равновесия

иг(ν'+λ')=B2[г], тогда становится EQ1$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$$r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Уравнение 2) .$\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Вопрос 1: Что мне делать с условия? Полиномы являются функциями от[y],так как я могу даже иметь разложение вродеB[r]=($(\frac{r}{R})^l$$[y]$X функция от [y]? Кроме того, похоже, что я могу просто разделить их по каждой части уравнения, так в чем же смысл введения этого термина? Я имею в виду, согласно статье этот термин должен накладывать граничное условие, чтоV,Wстремятся к нулю, аг -к нулю.$B[r]= (\frac{r}{R})^l$$V,W$$r$

* Вопрос2: * Как я должен иметь дело с в термине r ∗ W ′ . В статье дается описание того, как обращаться с производными терминами, но как насчет самого r . Должен ли я рассматривать это как равновесное значение и использовать правило для таких терминов, как B [ r ] F [ r ], или я должен выразить это r в терминах y . Или я должен сделать что-то еще вообще?$r$$r*W'$$r$$B[r]F[r]$$r$$y$

$r/R = (y+1)/2$

$r=0$