Реализация метода Якоби-Дэвидсона для кубической задачи на собственные значения

У меня есть большая проблема с кубическим собственным значением:

(A_{0} + λ A_{1} + λ^{2} A_{2} + λ^{3} A_{3}) x = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

Я мог бы решить это путем преобразования в линейную задачу на собственные значения, но это привело бы к системе $3^2$ как большой:

[\begin{matrix} - A_{0} & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & I \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = λ [\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ I & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

где $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ а также $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$ , Какие еще методы доступны для решения проблемы кубических собственных значений? Я слышал, что есть версия Якоби-Дэвидсона, которая решит ее, но не нашла реализации.

Кроме того, мне нужно иметь возможность нацеливаться на конкретные собственные значения аналогично методу ARPACK со смещением и инвертированием и находить соответствующие собственные векторы.

c++ eigensystem eigenvalues OSE
источник

Каковы размеры задействованных матриц?

Билл Барт

A_{i}

$\mathbf{A}_i$ это порядок

10000 \times 10000

$10000\times 10000$ , У меня есть две разные формулировки этой проблемы, одна в которой

A_{i}

$\mathbf{A}_i$ плотный, а в другом он редкий.

OSE

В SLEPc есть подпрограммы для квадратичных задач на собственные значения и нелинейных задач на собственные значения, так что вы можете найти то, что вам нужно. Он также имеет функции сдвига и инвертирования и имеет интерфейс к ARPACK.

Джефф Оксберри

Ответы:

При использовании протокола обратной связи ARPACK вам не нужно хранить $3n \times 3n$ матрица явно: вам просто нужно предоставить две функции, которые вычисляют:

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ а также $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(вы все еще платите за хранение $3\times n$ -мерные векторы, но вы ничего не платите за матрицы).

Что касается обратного преобразования, вы можете сделать то же самое, то есть реализовать его самостоятельно, используя обратный вызов, который вычисляет $x \mapsto M^{-1} x$ вместо $x \mapsto M x$ и заменить вычисленные $\lambda's$ с $\lambda^{-1}$ , Вычислить $M^{-1}x$ , вы можете предварительно фактор вашей матрицы $M$ , что означает только предварительный факторинг $A_0$ (используя LU, Cholesky, или их редкие версии в зависимости от структуры матрицы). Для полного преобразования с возвратом в сдвиг я думаю, что нечто подобное можно сделать.

BrunoLevy
источник