Пример непрерывной функции, которую трудно аппроксимировать полиномами

В учебных целях мне понадобится непрерывная функция от одной переменной, которую «трудно» аппроксимировать полиномами, то есть, для степенного ряда достаточно сильных степеней, чтобы «соответствовать» этой функции. Я намерен показать своим ученикам «пределы» того, что может быть достигнуто с помощью степенных рядов.

Я думал о том, чтобы придумать что-то «шумное», но вместо того, чтобы катиться по своему усмотрению, мне просто интересно, существует ли какая-то стандартная «сложная функция», которую люди используют для тестирования алгоритмов аппроксимации / интерполяции, в некоторой степени аналогично тем функциям тестирования оптимизации, которые имеют многочисленные локальные минимумы, где наивные алгоритмы легко застревают.

Извиняюсь, если этот вопрос не правильно сформулирован; пожалуйста, помилуй нематематика.

Почему бы просто не показать функцию абсолютного значения?

Аппроксимация, например, с использованием полиномиального расширения Лежандра, работает довольно плохо :

Разложение Тейлора здесь, конечно, совершенно бесполезно, всегда давая только линейную функцию, либо всегда уменьшающуюся, либо постоянно увеличивающуюся (в зависимости от того, является ли точка, вокруг которой вы расширяетесь, отрицательной или положительной).

$|x|$

Аппроксимация усложняется не только аппроксимируемой функцией, но и интервалом, в котором аппроксимация должна быть «подходящей». И вы должны определить меру для «хорошего соответствия», то есть, какую максимальную (абсолютную или относительную) ошибку вы хотите допустить?

$\exp(x)$$[0,10]$$\sin(x)$$[0,2\pi]$

Полиномы удивительно эффективны при приближении функции [1]. Если у вас есть хотя бы липшицева непрерывность, то чебышевские приближения будут сходиться. Конечно, конвергенция может быть медленной, и это цена, которую мы платим за работу с негладкой функцией.

Сегодня компьютеры работают намного быстрее, чем в те дни, когда было написано много книг по числовому анализу, и умные алгоритмы еще больше увеличили скорость, так что необходимость использовать больше терминов может быть не такой плохой, как раньше.

Патологические примеры, такие как функция монстра Вейерштрасса, интересны с теоретической точки зрения, но они не являются репрезентативными для большинства реальных прикладных контекстов.

$|x|$$x=0$

Важно учить трудности приближения с помощью полиномов, но также важно сказать учащимся, что мы можем строить оценки ошибок и адаптивные алгоритмы, которые могут справиться с этими проблемами.

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

Это сходится для $-1<x<1$, но это расходится повсюду. Полиномиальное приближение вокруг$x=0$ никогда не даст вам правильного ответа $x=2$,

$y = sin(x)$? Периодические функции должны быть трудно аппроксимировать с использованием полиномов, если только нет возможности ограничить полиномы конечными интервалами.