Как я могу приблизить неправильный интеграл?

У меня есть функция $f(x,y,z)$ таким образом, что
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$
конечна, и я хочу , чтобы приблизить этот интеграл.

Я знаком с квадратурными правилами и аппроксимациями интегралов по методу Монте-Карло, но вижу некоторые трудности при их реализации в бесконечной области. В случае Монте-Карло, как можно провести выборку бесконечной области (особенно, если области, которые вносят более существенный вклад в интеграл, неизвестны)? В квадратурном случае, как найти оптимальные точки? Должен ли я просто зафиксировать произвольно большую область вокруг центра координат и применить разреженные квадратурные правила? Как я могу приблизиться к этому интегралу?

В одном измерении вы можете отобразить свой бесконечный интервал в конечный интервал, используя интегрирование по подстановке, например

Где - некоторая функция, которая уходит в бесконечность в некотором конечном диапазоне, например, tan ( x ) :$u(x)$$\tan(x)$

Затем вы можете использовать любую обычную числовую квадратурную процедуру для модифицированного конечного интеграла.

Замена нескольких переменных немного сложнее, но достаточно хорошо описано здесь .

Стандартный способ сделать это состоит в том, чтобы извлечь из выражения для экспоненциальный коэффициент, преобразовать его в e - x 2 , а затем использовать гауссовы квадратурные правила (или гауссовский кронрон) с этим в качестве веса. Если f гладкое, это обычно дает отличные результаты.$f(x)$$e^{-x^2}$$f$

В то же самое работает с весом e - | х | 2 , и соответствующие кубатурные формулы можно найти, например, в книге Энгельса «Числовая квадратура и кубатура».$R^3$$e^{-|x|^2}$

Формулы онлайн находятся по адресу http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

Для одномерной квадратуры вы можете проверить книгу по Quadpack (золотое старое, но все еще очень актуально в одномерной квадратуре) и методы, используемые в алгоритме QAGI, автоматическом интеграторе для бесконечного диапазона.

Другой метод - квадратурная формула с двумя экспонентами, хорошо реализованная Урой для бесконечного интервала .

Для кубатуры, вы можете обратиться к энциклопедии кубатурных формул Рональда Кулса.

Если вы помните, как работала квадратура, вы также знаете один способ аппроксимации бесконечных интегралов. А именно: для квадратуры вы приближаете функцию$f(x)$ Вы хотите интегрировать что-то подобное, скажем, полином $\tilde f(x)$(или кусочно-полином), для которого вы можете записать интеграл аналитически. Вы получаете$\tilde f$ из $f$ путем интерполяции в точках интерполяции - которые будут вашими квадратурными точками.

Для бесконечных интегралов один подход использует точно такое же мышление. Например, вы можете попытаться приблизиться$f(x)$ по всей строке, используя более простую функцию, например $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ с полиномом $p(x)$ это интерполирует $f(x)e^{x^2}$в ряде пунктов. Тогда есть простые формулы для вычисления интеграла$\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$, Выбор точек интерполяции следует той же логике, что и для обычного квадратурного вывода.

Если вы хотите использовать интеграцию Монте-Карло, вы можете начать с выборки по важности с помощью сэмплера, который приблизительно соответствует вашему интегралу. Чем лучше ваш сэмплер соответствует вашему интегралу, тем меньше дисперсия в ваших интегральных оценках. Неважно, что ваш домен бесконечен, если ваш сэмплер имеет тот же домен.