Сильные против слабых решений PDE

Сильная форма PDE требует, чтобы неизвестное решение принадлежало . Но слабая форма требует только того, чтобы неизвестное решение принадлежало . $H^2$ $H^1$

Как вы примиряете это?

pde weak-solution Мохамед Чеддади
источник

Класс слабых решений больше, чем класс сильных решений (каждое сильное решение также является слабым решением, но не каждое слабое решение также является сильным решением).

Кристиан Клэйсон

Но есть только одно решение.

Мохамед Чеддади

Существует одно решение для каждой (подходящей) правой части функции или набора (подходящих) граничных условий. Пространства соответствующих RHS или BC для слабых решений больше, чем для сильных.

Билл Барт

Давайте рассмотрим простейший случай уравнения Пуассона в области вместе с однородными условиями Дирихле на границе of . Пока мы предполагаем, что настолько гладкий, насколько мы хотим (например, может параметризоваться функцией ) - это будет важно позже.

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$

\partial Ω

$\partial\Omega$

Ω

$\Omega$

\partial Ω

$\partial\Omega$

C^{\infty}

$C^\infty$

Теперь вопрос заключается в том, как интерпретировать (чисто формальный) PDE . Обычно на это отвечают с точки зрения того, как интерпретировать производную , но для нашей цели лучше сосредоточиться на том, как интерпретировать уравнение . $(1)$ $\Delta$

Предполагается, что PDE выполняется поточечно для каждого . Чтобы это имело смысл, правая часть должна быть непрерывной, иначе мы не можем говорить о точечных значениях . Это означает, что вторые (классические) производные решения должны быть непрерывными, т. Е. Мы должны искать . Функция которая удовлетворяет вместе с граничным условием поточечно, называется классическим решением (иногда, к сожалению, также сильным решением ). $(1)$ $x\in\Omega$ $f$ $f(x)$ $u$ $u\in C^2(\Omega)$

$u\in C^2(\Omega)$ $(1)$ $(2)$
Требование, чтобы непрерывным, слишком ограничительно для практических применений. Если мы только предположим, что выполняется поточечно для почти каждого (т. Везде, кроме множеств нулевой меры Лебега), то мы можем сойти с . Это означает, что вторые производные являются функциями в , что имеет смысл, если мы берем слабые производные и, следовательно, ищем . (Помните, что для функций , которые не являются непрерывными, мы не можем взять граничное условие $f$ $(1)$ $x\in \Omega$ $f\in L^2(\Omega)$ $L^2$ $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $u$ $(2)$ поточечно. Так как $\partial \Omega$ имеет нулевую меру Лебега как подмножество в $\bar\Omega$ , точечно почти везде также не имеет смысла.)

Функция $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ , удовлетворяющая $(1)$ точечно почти везде, называется сильной решение . Обратите внимание, что в общем случае необходимо и нетривиально показывать, что такое решение существует и является уникальным (что имеет место для примера здесь).
Если мы уже имеем дело со слабыми производными, мы также можем дополнительно ослабить предположения о $f$ . Если мы возьмем $(1)$ в качестве абстрактного операторного уравнения в $H^{-1}(\Omega)$ , двойственного пространства $H^1_0(\Omega)$ , то это имеет смысл для всех $f\in H^{-1}(\Omega)$ (что является пространство больше, чем $L^2(\Omega)$ ). В значительной степени по определению двойственного пространства и слабой производной, $(1)$ в этом смысле эквивалентно уравнению в вариациях
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
Функция $u\in H^1_0(\Omega)$ , удовлетворяющая $(3)$ , называетсяслабым решением. Опять же, в общем случае необходимо и нетривиально показывать, что такое решение существует и является уникальным (что имеет место для примера здесь).

$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

$(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
$f\in L^2(\Omega)$
$H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ или более сложные, нелинейные уравнения; см., например, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ .)

Кристиан Клэйсон
источник

Я нашел этот ответ действительно полезным. Можете ли вы дать ссылку на вашу последнюю часть вашего ответа? Я хотел бы видеть пример, где PDE имеет уникальное сильное решение, но допускает несколько слабых решений. Благодаря!

индукция601

Сильные против слабых решений PDE

Ответы: