Алгебраическая многосетка: почему продукт интерполяции и ограничения не приводит к чему-либо с нормой 1?

В настоящее время я работаю с «Многосеточным учебником» Бриггса и др., Глава 8.

Конструкция оператора интерполяции имеет вид:

Тогда конструкция оператора ограничения и оператора точной сетки задаются как:

Давайте предположим, что у нас есть три точки сетки x0, x1, x2 со средней, x1 в порядке, а остальные грубые. Средний интерполируется x1 = x0*w0 + x2*w2. Следовательно, оператор интерполяции (в Matlab):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

Оператор ограничения тогда:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если кто-то ограничит, а затем интерполирует напрямую, что приведет к умножению Iи transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Я ожидал бы, что эта матрица является чем-то вроде единичной матрицы или, по крайней мере, имеет норму 1 или что-то в этом роде. Но если бы мы применили x = [1, 1, 1] для, скажем, w0 = w2 = 0,5, мы получили бы [1,5 1,5 1,5]. Я бы предположил, что неоднократно примененные операции ограничения-интерполяции хотя бы сходятся к чему-то. Но нет, в этом случае все компоненты вектора умножаются на 1,5 при каждой ограничительной интерполяции. Это кажется мне очень странным.

Кто-нибудь может объяснить, что происходит?

$x$

$I^TI$

$E$$EI$$EI$$(EI)(EI)=EI$