Итеративный «решатель» для

Я не могу себе представить, что я первый думаю о следующей проблеме, поэтому я буду удовлетворен ссылкой (но всегда приветствуется полный, подробный ответ):

Скажем, у вас есть симметричная положительно определенная . считается очень большим, поэтому удержание в памяти невозможно. Однако вы можете оценить для любого . Учитывая, что , вы хотели бы найти .$\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$$n$$\Sigma$$\Sigma x$$x \in \mathbb{R}^{n}$$x \in \mathbb{R}^{n}$$x^t\Sigma^{-1}x$

Первое решение, которое приходит на ум, - это найти используя, скажем, сопряженные градиенты. Однако это кажется несколько расточительным - вы ищете скаляр, и в процессе вы обнаруживаете гигантский вектор в . Кажется, имеет больше смысла придумать метод вычисления скаляра напрямую (т.е. без прохождения ). Я ищу такой метод.$\Sigma^{-1}x$$\mathbb{R}^{n}$$\Sigma^{-1}x$

Я не думаю, что слышал о каком-либо методе, который делает то, что вы хотите, без фактического решения .$y=\Sigma^{-1}x$

Единственная альтернатива, которую я могу предложить, - это если вы знали что-то о собственных векторах и -значениях . Скажем, вы знали, что они , тогда вы можете представить где столбцы - это , а - диагональная матрица с собственными значениями на диагонали. Следовательно, у вас есть это и вы получаете это Это, конечно , может потребовать от вас , чтобы сохранить все собственные значения, то есть, полный матрицу . Но, если вам случится знать, что только некоторые из собственных значений$\Sigma$$\lambda_i,v_i$$\Sigma=V^T L V$$V$$v_i$$L$$\Sigma^{-1}=V^T L^{-1} V$

Конечно, на практике часто одинаково или более сложно вычислить собственные значения и собственные векторы по сравнению с простым решением несколько раз.$y=\Sigma^{-1}x$