Существует ли обобщение закона инерции Сильвестра для симметричной обобщенной задачи на собственные значения?

Я знаю, что для решения симметричной задачи на собственные значения $Ax = \lambda x$мы можем использовать закон инерции Сильвестра, то есть число собственных значений $A$ меньше, чем $a$равно количеству отрицательных элементов в где диагональная матрица получается из факторизации ЛПНП . Затем с помощью метода деления пополам мы можем найти все или некоторые собственные значения по желанию. Я хотел бы знать, существует ли обобщение закона инерции Сильвестра для симметричных обобщенных задач на собственные значения, то есть решение , где и - симметричные матрицы. Спасибо.$D$$D$$A-aI = LDL^{T}$$Ax= \lambda Bx$$A$$B$

Да, если карандаш определен, т. Е. Если и эрмитовы, а положительно определен. Затем подпись имеет ту же интерпретацию проблемы собственных значений , как и в случае . Более общий результат такого рода справедлив для любой определенной нелинейной задачи на собственные значения . Смотрите раздел 5.3 моей книги$A$$B$$B$$A-\sigma B$$(A-\lambda B)x=0$$B=I$$A(\lambda)x=0$

Арнольд Ноймайер, Введение в численный анализ, Кембридж Univ. Press, Cambridge 2001.

Для доказательство моего утверждения может быть выведено из аргумента, приведенного Джеком Полсоном, отметив, что и являются конгруэнтными, следовательно, имеют одинаковую инерцию.$(A-\lambda B)x=0$$C-\sigma I$$A-\sigma B$

В частности, можно непосредственно вычислить инерцию , и не нуждается в Холецкоге разложения с образованием . Действительно, если плохо обусловлен, то численное формирование ухудшает качество теста на инерцию.$A-\sigma B$$B$$C$$B$$C$

В случае, когда $B$ эрмитова и положительно-определенная, холесская факторизация $B$, сказать $B = L L^H$даёт

и этим уравнением можно манипулировать, чтобы показать, что

где должно быть ясно, что $C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ сохраняет симметрию $A$, а также имеет тот же спектр, что и карандаш $(A,B)$, Таким образом, после формирования$C$с факторизацией Холецкого, за которой следует двустороннее треугольное решение , вы можете напрямую применить закон инерции Сильвестра к$C$ собрать информацию о собственных значениях карандаша $(A,B)$,

Отметим, что поскольку закон инерции Сильвестра инвариантен относительно конгруэнтных преобразований, например,$S \cdot S^H$тогда матрица $C$ соответствует $A$ через преобразование $L^{-1} \cdot L^{-H}$, и так $C$ имеет ту же инерцию, что и $A$, Однако, если инерция$C-\sigma I$ желательно, для некоторого ненулевого сдвига $\sigma$то мы уже не можем просто считать $A$,