Имитация гамильтоновой эволюции

Я пытаюсь понять, как моделировать эволюцию кубитов при взаимодействии гамильтонианов с терминами, записанными как тензорное произведение матриц Паули в квантовом компьютере. Я нашел следующий трюк в книге Нильсена и Чуанга, который объясняется в этом посте для гамильтониана вида

$$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$$ .

Но подробно не объясняется, как будет работать моделирование для гамильтониана с членами, включающими матрицы Паули илиЯ понимаю, что вы можете преобразовать эти Паули в Z, считая, что где - ворота Адамара, а также где - ворота фазы . Как именно я должен использовать это для реализации, например, $X$$Y$$HZH = X$$H$$S^{\dagger}HZHS =Y$$S$$i$

$$H= X \otimes Y$$

Что если теперь гамильтониан содержит сумму слагаемых с матрицами Паули? Например

$$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$$

Допустим, у вас есть гамильтониан вида

$$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$$ Существует прямолинейная конструкция схемы, которая позволяет реализовать эволюцию во времени $e^{-iHt}$ . Хитрость заключается в основном разлагаться состояние , что вы складывающуюся в компоненты , которые находятся в $\pm 1$ собственные подпространства $H$ . Затем вы применяете фазу $e^{-it}$ к собственному пространству $+1$ , а фазу $e^{-it}$ к$-1$собственное пространство. Следующая схема делает эту работу (и вычисляет разложение в конце). Я предполагаю, что элемент фазового затвора в середине применяет унитарный $$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$$

---

В общем, если вы хотите развить некоторый гамильтониан $H=H_1+H_2$ где $H_1$ и $H_2$ имеют предыдущую форму, то, безусловно, проще всего разложить эволюцию как

$$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$$ для некоторого большого $M$ (хотя существуют алгоритмы с гораздо лучшим поведением масштабирования), и каждый из этих небольших шагов$e^{-iH_1t/M}$ может быть реализовано с предыдущей схемой.

---

Тем не менее, иногда есть умные вещи, которые вы можете сделать. Ваш дополнительный пример,

$$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$$ является одним из таких случаев. Я бы начал с применения унитарного вращения $U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$ к кубитам 2 и 3. Это эквивалентно к воротам Адамар, но преобразует$Y$в$Z$вместо$X$. Теперь остановитесь на минуту и ​​подумайте. Если кубиты 2 и 3 находятся в 00, то мы применяем$(X+Z)$к кубиту 1. Для 01 это$(X-Z)$, для 10 это$(Z-X)$, а для 11 это$-(X+Z)$. Далее, давайте применим контролируемый, а не из кубита 2 к кубиту 3. Это просто немного переставляет базовые элементы. Теперь говорится, что мы должны применить гамильтониан $$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$$ в состояние кубита 1, если кубиты 2 и 3 находятся в состояниях$x_2x_3$ . Далее, помните, что$X+Z=\sqrt{2}H$(Адамар, а не гамильтониан), и что$X\sqrt{2}HX=X-Z$. Таким образом, это дает нам простой способ для преобразования между двумя битами гамильтониана. Мы просто заменим эти два$X$на управляемые не-узлы, управляемые кубитом 3. Точно так же мы можем использовать идентификатор схемы, где на этот раз мы заменим$X$ы управляемыми не-узлами, управляемыми из кубита 2.

В целом, я полагаю, что симуляция выглядит так, как будто она может показаться сложной, но в ней нет разделения на маленькие временные шаги, которые накапливают ошибки по мере продвижения. Это не будет применяться очень часто, но стоит знать об этих возможностях.

$H$$H=UDU^\dagger$$e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$$\sigma_i \neq I$$i$$H$

$$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$$

Как результат:

$$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$$

$e^{it Z\otimes Z}$

Если гамильтониан является суммой произведений Паули, то общего простого решения не существует, но вы можете использовать формулу произведения Ли, усеченную до некоторого большого числа слагаемых, чтобы свести ее к указанной выше проблеме.

$e^{-\Delta t H}$